Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 2: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD.

a) Chứng minh rằng $(SMD) ⊥ (SNC)$ .

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SNC).

Lời giải:

a) Tam giác SAB đều có M là trung điểm AB nên SM ⊥ AB. Mà (SAB) ⊥ (SAB) nên SM ⊥ (ABCD). Suy ra SM ⊥ NC.

Xét ΔAMD và ΔDNC

AM = DN

$\hat{MAD} = \hat{NDC}$

AD = DC

Do đó ΔAMD và ΔDNC (c.g.c)

Suy ra $\hat{AM D} = \hat{CN D}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\hat{AM D} + \hat{A DM} = 90 °$ nên $\hat{CND} + \hat{A DM} = 90 °$ .

Từ đó ta có tam giác DNI vuông tại I hay DM ⊥ NC. Mà SM ⊥ NC nên NC ⊥ (SND).

Vậy (SNC) ⊥ (SMD).

b) Kẻ MH ⊥ SI (H $\in$ SI).

Vì NC ⊥ (SMD) ⇒ NC ⊥ MH ⇒ MH ⊥ (SNC)

Tam giác SAB đều có SM là trung tuyến nên $SM = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác CND vuông có DI là đường cao nên $\frac{1}{{DI}^{2}} = \frac{1}{{DN}^{2}} + \frac{1}{{DC}^{2}}$ .

Suy ra $DI = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

• $DM = \sqrt{{AM}^{2} + A D^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

• $MI = M D - DI = \frac{3 a \sqrt{5}}{10}$

Và SM ⊥ (ABCD) nên SM ⊥ MI.

Tam giác SMI vuông tại M có MH là đường cao

$\frac{1}{{MH}^{2}} = \frac{1}{{SM}^{2}} + \frac{1}{{MI}^{2}} \Rightarrow MH = \frac{3 a \sqrt{2}}{8}$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 8 hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài tập cuối chương 8:

Giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Xem lời giải

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác