Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 11 trang 15 Tập 1 trong Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 15.

Bài 1 trang 15 Toán 11 Tập 1: Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng$\frac{\pi }{2};\frac{7\pi }{6};-\frac{\pi }{6}$ .

Lời giải:

• Ta có $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc $\frac{\pi }{2}$, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left(OA,OM\right)=\alpha =\frac{\pi }{2}$ được biểu diễn trùng với điểm B.

• Ta có (OA,ON)=$\beta =\frac{7\pi }{6}=\pi +\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc $\frac{7\pi }{6}$.

• Ta có (OA,OP) = $\gamma =-\frac{\pi }{6}$ là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc $\frac{\pi }{6}$.

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn nhu hình vẽ dưới đây:

Bài 2 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225°; ‒225°; ‒1 035°; $\frac{5\pi }{3};\frac{19\pi }{2};-\frac{159\pi }{4}$.

Lời giải:

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos225° = cos(45° + 180°)= ‒cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin225° = sin(45° + 180°) = ‒sin45° =$=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan225° = tan(45° + 180°) = tan45° = 1;

cot225° = cot(45° + 180°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos(‒225°) = cos225° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(‒225°) = ‒sin225° = $-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

tan(‒225°) = ‒tan225° = ‒1;

cot(‒225°) = ‒cot225° = ‒1;

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1 035°:

Ta có: cos(‒1 035°) = cos(‒3 . 360° + 45°) = cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(‒1 035°) = sin(‒3 . 360° + 45°) = sin45° =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

tan(‒1 035°) = tan(‒3 . 360° + 45°) = tan45° = 1;

cot(‒1 035°) = cot(‒3 . 360° + 45°) = cot45° = 1.

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{5\pi }{3}$:

Ta có: $cos\frac{5\pi }{3}=cos\left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=-cos\frac{2\pi }{3}=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$;

$\sin \frac{5\pi }{3}=\sin \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=-\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

$\tan \frac{5\pi }{3}=\tan \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=\tan \frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}$ ;

$\cot \frac{5\pi }{3}=\cot \left(\frac{2\pi }{3}+\pi \right)=\cot \frac{2\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

‒ Các giá trị lượng giác của góc $\frac{19\pi }{2}$ :

Ta có: $cos\frac{19\pi }{2}=cos\left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=c\text{os}\left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-cos\frac{\pi }{2}=0$ ;

$\sin \frac{19\pi }{2}=\sin \left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$ ;

Do $cos\frac{19\pi }{2}=0$ nên $\tan \frac{19\pi }{2}$ không xác định;

$\cot \frac{19\pi }{2}=\cot \left(9\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\cot \left(\pi +\frac{\pi }{2}\right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$ .

‒ Các giá trị lượng giác của góc $-\frac{159\pi }{4}$ :

Ta có: $cos\left(-\frac{159\pi }{4}\right)=cos\left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=c\text{os}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\sin \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\text{sin}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

$\tan \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\tan \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$;

$\cot \left(-\frac{159\pi }{4}\right)=\cot \left(-40\pi +\frac{\pi }{4}\right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$ .

Bài 3 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:

a) $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$;

b) $\frac{\pi }{3}+\left(2k+1\right)\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) kπ (k ∈ ℤ);

d) $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải:

a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

• $cos\left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=cos\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ ;

• $\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

• $\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$;

• $\cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+\left(2k+1\right)\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

   • sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

   • tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

   • cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

   • sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

   • tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

   • Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

        cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$:

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$ ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\Rightarrow co{s}^2\alpha =1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{4}$ (do cosα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$ ;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $cos\alpha =-\frac{1}{4}$ ; $\tan \alpha =-\sqrt{15}$ và $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

$\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0).

Ta có: tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$;

            cotα = $\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$; $\tan \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi khi $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$, cosα < 0 khi $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$.

Mà tanα = 3 > 0, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }>0$, từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, ta có

$1+3^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ hay$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=10$

=> $\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$ => $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα < 0).

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ , ta có:

$1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{10}{9}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0).

Vậy $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}$; $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\cot \alpha =\frac{1}{3}$.

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$.

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$, suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$, ta có:

1 + (-2)² = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ = 5

=> ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$ => $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ (do sinα > 0).

Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ => $\cos \alpha =\cot \alpha .\sin \alpha$ = $\left(-2\right).\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Bài 5 trang 15 Toán 11 Tập 1: Cho α + β = π. Tính:

a) A = sin²α + cos²β;

b) B = (sinα + cosβ)² + (cosα + sinβ)².

Lời giải:

Lời giải:

Ta có α + β = π nên sinα = sin(π – α) = sinβ, suy ra sin²α = sin²β.

a) A = sin²α + cos²β = sin²β + cos²β = 1.

b) Ta có α + β = π nên cosα = – cos(π – α) = – cosβ.

Khi đó, B = (sinα + cosβ)² + (cosα + sinβ)²

= (sinβ + cosβ)² + (– cosβ + sinβ)²

= (sinβ + cosβ)² + (sinβ – cosβ )²

= sin²β + 2sinβ cosβ + cos²β + sin²β – 2sinβ cosβ + cos²β

= 2(sin²β + cos²β)

= 2 . 1 = 2.

Bài 6 trang 15 Toán 11 Tập 1: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h.

a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h; 3 h; 5 h.

b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Lời giải:

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18 000π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: $\frac{18000\pi }{2}.1=9000\pi \left(km\right)$.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: $\frac{18000\pi }{2}.3=27000\pi \left(km\right)$.

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: $\frac{18000\pi }{2}.5=45000\pi \left(km\right)$.

b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9000π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là:

$\frac{200000}{9000\pi }\approx 7$ (giờ).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác hay khác:

• Giải Toán 11 trang 5

• Giải Toán 11 trang 6

• Giải Toán 11 trang 7

• Giải Toán 11 trang 8

• Giải Toán 11 trang 9

• Giải Toán 11 trang 10

• Giải Toán 11 trang 11

• Giải Toán 11 trang 12

• Giải Toán 11 trang 14

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

• Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

• Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

• Toán 11 Bài tập cuối chương 1

• Toán 11 Bài 1: Dãy số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---