Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm

Trang trước Trang sau

Bài 33* trang 93 SBT Toán 9 Tập 2: Cho đường tròn (I; r) cố định. Một tam giác ABC thay đổi, có chu vi bằng 16 cm và luôn ngoại tiếp đường tròn (I; r). Một tiếp tuyến song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Tìm độ dài BC để MN có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại D, F, E và BC = x.

Ta có MN // BC nên ∆AMN ᔕ ∆ABC.

Suy ra: $\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} .$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N + A M + A N}{B C + A B + A C} = \frac{Chu vi Δ A M N}{Chu vi Δ A B C} .$ (*)

Vì AD, AE là các tiếp tuyến của đường tròn (I; r) tại D, E nên AD = AE.

Tương tự, ta có BD = BF và CE = CF.

Do đó AD + AE = AB – BD + AC – CE

= AB + AC – (BD + CE)

= AB + AC – (BF + CF)

= AB + AC – BC.

Gọi H là tiếp điểm của đường tròn (I; r) với MN.

Hai tiếp tuyến MD, MH của đường tròn (I; r) cắt nhau tại M nên MD = MH.

Tương tự ta có NE = NH.

Ta có:

Chu vi ∆AMN

= AM + AN + MN

= AD – MD + AE – NE + MN

= AD + AE – (MD + NE) + MN

= AD + AE – (MH + NH) + MN

= AD + AE – MN + MN

= AD + AE

= AB + AC – BC

= AB + AC + BC – 2BC

= Chu vi ∆ABC – 2x (với x = BC)

= 16 – 2x.

Từ (*) ta có: $\frac{M N}{B C} = \frac{Chu vi Δ A M N}{Chu vi Δ A B C},$ hay $\frac{M N}{x} = \frac{16 - 2 x}{16} .$

Từ đó $M N = \frac{x (16 - 2 x)}{16} = \frac{2 x (8 - x)}{16} = \frac{4 \cdot x \cdot (8 - x)}{32} \leq \frac{{[x + (8 - x)]}^{2}}{32} = 2.$

Do đó, MN có độ dài lớn nhất bằng 2 cm khi x = 8 – x hay x = 4, tức là BC = 4 cm.

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác