Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp

Bài 29 trang 93 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nhọn. Ba đường cao AI, BK, CL. Chứng minh:

a) Các tứ giác AKIB, BLKC là các tứ giác nội tiếp;

b) Trực tâm H của tam giác ABC là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có ba đường cao AI, BK, CL nên AI ⊥ BC, BK ⊥ AC, CL ⊥ AB.

Do ∆ABK vuông tại K và ∆ABI vuông tại I nên hai điểm K, I cùng thuộc đường tròn đường kính AB. Do đó tứ giác AKIB nội tiếp đường tròn đường kính AB.

Do ∆BCL vuông tại L và ∆BCK vuông tại K nên hai điểm L, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Do đó tứ giác BLKC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) Do tứ giác AKIB nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối nhau của tứ giác này bằng 180°, suy ra $\hat{A B I} + \hat{A K I} = 180 °$

Mà $\hat{C K I} + \hat{A K I} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{C K I} = \hat{A B I} (= 180 ° - \hat{A K I})$ hay $\hat{I K C} = \hat{A B C} .$

Tương tự ta cũng có $\hat{A K L} = \hat{A B C} .$

Suy ra $\hat{A K L} = \hat{I K C} .$

Từ đó ta có $90 ° - \hat{A K L} = 90 ° - \hat{I K C}$ hay $\hat{L K H} = \hat{I K H} .$

Vì vậy KH là đường phân giác của góc LKI.

Tương tự cũng có LH là đường phân giác của góc KLI.

Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác IKL.

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác