Cho lục giác đều ABCDEF cạnh bằng a. Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn

Bài 31 trang 93 SBT Toán 9 Tập 2: Cho lục giác đều ABCDEF cạnh bằng a.

a) Chứng minh sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Tính theo a bán kính của đường tròn đó.

b) Chứng minh các tam giác ACE, BFD là các tam giác đều. Tính theo a bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của các tam giác đó.

Lời giải:

a) ⦁ Vì ABCDEF là lục giác đều nên ba đường chéo chính AD, BE, CF bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường, do đó OA = OB = OC = OD = OE = OF, nên sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính AD.

⦁ Vì ABCDEF là lục giác đều nên độ dài đường chéo chính AD gấp 2 lần độ dài cạnh, mà AD là đường kính của đường tròn đi qua sáu điểm A, B, C, D, E, F nên bán kính của đường tròn đi qua sáu điểm A, B, C, D, E, F bằng độ dài cạnh của lục giác đều và bằng a.

b) ⦁ Vì ABCDEF là lục giác đều nên các góc ở các đỉnh của lục giác đều bằng nhau, suy ra $\hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D E} = \hat{D E F} = \hat{E A F} = \hat{A F B} .$

Vì ABCDEF là lục giác đều nên các cạnh bằng nhau, suy ra AB = BC = CD = DE = EF = FA.

Xét ∆ABC và ∆CDE có:

AB = CD, $\hat{A B C} = \hat{C D E},$ BC = DE.

Do đó ∆ABC = ∆CDE (c.g.c)

Suy ra AC = CE (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta có kết quả AC = CE = AE = BD = DF = BF.

Do AC = CE = AE nên ∆ACE là tam giác đều.

Do BF = BD = DF nên ∆BFD là tam giác đều.

⦁ Gọi H là giao điểm của AC và OB.

Ta có OA = OB = AB = a nên ∆OAB là tam giác đều, do đó $\hat{A B O} = 60 °$ hay $\hat{A B H} = 60 ° .$

Xét tứ giác OABC có OA = OC = AB = BC nên OABC là hình thoi, do đó hai đường chéo AC và OB vuông góc với nhau tại trung điểm H của mỗi đường.

Từ đó ta có AC = 2AH.

Xét ∆ABH vuông tại H, ta có:

$A H = A B \cdot \sin \hat{A B H} = a \cdot \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Suy ra $A C = 2 A H = 2 \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3} .$

Vì ∆ACE là tam giác đều nên bán kính đường tròn nội tiếp của ∆ACE là $\frac{A C \sqrt{3}}{6} = \frac{a \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{a}{2} .$

Vì AC = CE = AE = BF = FD = BD nên ta có ∆ACE = ∆BFD (c.c.c).

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng của ∆ACE và ∆BFD bằng nhau, và bằng $\frac{a}{2} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác