Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tuỳ ý

Trang trước Trang sau

Bài 22* trang 91 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại C và nội tiếp đường tròn (O; R). E là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ AC. Gọi I là giao điểm của EB và AC. Kẻ IK vuông góc với AB. Chứng minh rằng khi E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải:

Kẻ đường kính CD, khi đó ta có điểm D cố định.

Ta có $\hat{A E B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) đường kính AB) và $\hat{A K I} = 90 °$ (do IK ⊥ AB) nên hai điểm E, K cùng thuộc đường tròn đường kính AI.

Do đó tứ giác EIKA nội tiếp đường tròn đường kính AI.

Suy ra $\hat{K A I} = \hat{K E I}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KI).

Lại có $\hat{K A I} = 45 °$ (do ∆ACB vuông cân tại C) do đó $\hat{K E I} = 45 °$ hay $\hat{K E B} = 45 ° .$ (1)

Mặt khác, ∆ABC vuông cân tại C có CO là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, đường phân giác của tam giác.

Do đó $\hat{D C A} = \hat{D C B} = \frac{1}{2} \hat{A C B} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 ° .$

Mà $\hat{D E B}, \hat{D C B}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O) nên $\hat{D E B} = \hat{D C B} = 45 ° .$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra E, K, D thẳng hàng.

Vậy khi điểm E di chuyển trên cung nhỏ AC thì EK luôn đi qua điểm D cố định.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác