Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và góc BAC nhỏ hơn 90 độ

Trang trước Trang sau

Bài 17 trang 90 SBT Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và $\hat{B A C} < 90 ° .$ Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC. Chứng minh:

a) AH = EH;

b) $\hat{D C E} = \hat{A B D} .$

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân ở A, H là trung điểm của BC và góc BAC nhỏ hơn 90 độ

a) Do tam giác ABC cân tại A có AH là trung tuyến của tam giác nên đồng thời là đường cao của tam giác và đường phân giác của góc BAC, nên $\hat{B A H} = \hat{H A C} .$ (1)

Do ∆AHD vuông tại H nên H thuộc đường tròn đường kính AD.

Do ∆AED vuông tại E nên E thuộc đường tròn đường kính AD.

Do đó tứ giác AHED nội tiếp đường tròn đường kính AD, suy ra $\hat{A D H} = \hat{A E H}$ (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH).

Mặt khác $\hat{A D H} = \hat{B A H}$ (3) (vì cùng phụ với $\hat{H A D})$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\hat{H A C} = \hat{A E H} .$

Do đó, tam giác HAE cân tại H nên AH = EH.

b) Xét ∆AHB và ∆AHC có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A);

HB = HC (do H là trung điểm của BC);

AH là cạnh chung

Do đó ∆AHB = ∆AHC (c.c.c)

Suy ra $\hat{A B H} = \hat{A C H}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\hat{A C H} = \hat{D C E}$ nên $\hat{D C E} = \hat{A B D} .$

Lời giải SBT Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác