Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc

Trang trước Trang sau

Bài 19 trang 91 SBT Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc với CM cắt các tia AB, AD lần lượt tại E và F. Tia CM cắt đường thẳng AD tại N. Chứng minh rằng:

a) $\hat{N C A} = \hat{M F N}$ và $\hat{N E A} = \hat{N C A};$

b) CM + CN = EF.

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Đường thẳng qua C vuông góc

a) Gọi I là trung điểm của MF.

Xét ∆CMF vuông tại C nên điểm C nằm trên đường tròn đường kính MF.

Do ABCD là hình vuông nên ∆MAF vuông tại A, do đó điểm A nằm trên đường tròn đường kính MF.

Khi đó, bốn điểm A, M, C, F cùng nằm trên đường tròn đường kính MF, do đó tứ giác AMCF nội tiếp đường tròn đường kính MF.

Suy ra $\hat{M C A} = \hat{M F A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MA) hay $\hat{N C A} = \hat{M F N} .$

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác NACE nội tiếp đường tròn đường kính NE, nên $\hat{N E A} = \hat{N C A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NA).

b) Do ABCD là hình vuông nên AC là đường phân giác của $\hat{B A D},$ do đó $\hat{B A C} = \hat{C A D} = \frac{1}{2} \hat{B A D} = \frac{1}{2} \cdot 90 ° = 45 °$ hay $\hat{E A C} = 45 ° .$

Ta có tứ giác NACE nội tiếp đường tròn nên $\hat{E N C} = \hat{E A C} = 45 °$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC).

Mà $\hat{N C E} = 90 °$ nên tam giác CEN vuông cân tại C.

Vì thế CN = CE.

Tương tự, tam giác CMF vuông cân tại C suy ra CM = CF.

Do đó CM + CN = CF + CE = EF.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác