Cho góc xAy = 60 độ và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay

Trang trước Trang sau

Bài 18 trang 91 SBT Toán 9 Tập 2: Cho $\hat{x A y} = 60 °$ và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; kẻ đường thẳng BM vuông góc với Ax cắt Ay tại K (Hình 14).

Chứng minh:

a) Các tứ giác AMBN, HMNK là các tứ giác nội tiếp đường tròn;

b) HK = 2MN.

Lời giải:

Cho góc xAy = 60 độ và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.

Khi đó MI, NI lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của các tam giác vuông AMB, ANB nên $I M = I N = I A = I B = \frac{A B}{2} .$

Suy ra tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB.

Tương tự, tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn tâm J, đường kính HK.

b) Do tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°, suy ra $\hat{H M N} + \hat{N K H} = 180 °$

Mà $\hat{A M N} + \hat{H M N} = 180 °$ (hai góc kề bù)

Nên $\hat{A M N} = \hat{N K H} (= 180 ° - \hat{H M N})$ hay $\hat{A M N} = \hat{A K H} .$

Xét ∆AMN và ∆AKH có:

$\hat{K A H}$ là góc chung và $\hat{A M N} = \hat{A K H} .$

Do đó ∆AMN ᔕ ∆AKH (g.g)

Suy ra $\frac{M N}{K H} = \frac{A N}{A H}$ (1)

Lại có tam giác AHN vuông tại N nên

$\cos \hat{H A N} = \frac{A N}{A H}$ hay $\cos 60 ° = \frac{A N}{A H},$ tức là $\frac{A N}{A H} = \frac{1}{2} .$

Do đó AH = 2AN (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{M N}{K H} = \frac{A N}{A H} = \frac{1}{2}$ nên HK = 2MN.

Lời giải SBT Toán 9 Bài 2: Tứ giác nội tiếp đường tròn hay khác:

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác