Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49)

Trang trước Trang sau

Bài 4.44 trang 69 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49). Chứng minh rằng:

a) ∆ABD vuông tại B.

b) ∆ABD = ∆BAC.

c) Các tam giác AMB, AMC là các tam giác cân tại đỉnh M.

Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A. Gọi M là trung điểm của BC và D là điểm nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA (H.4.49)

Lời giải:

a) Xét tam giác AMC và tam giác DMB có:

MA = MD (gt)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

$\hat{A M C} = \hat{D M B}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, ∆AMC = ∆DMB (c – g – c).

Suy ra $\hat{D B M} = \hat{A C M}$ (hai góc tương ứng).

Do tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{A B C} + \hat{A C M} = \hat{A B C} + \hat{A C B} = 90 °$ .

Khi đó, ta có: $\hat{A B D} = \hat{A B C} + \hat{C B D} = \hat{A B C} + \hat{D B M} = \hat{A B C} + \hat{A C M} = 90 °$ .

Suy ra $\hat{A B D} = 90 °$ .

Vậy tam giác ABD vuông tại B.

b) Xét tam giác vuông ABD và tam giác vuông BAC có:

BD = AC (do ∆AMC = ∆DMB)

AB: cạnh chung

Do đó, ∆ABD = ∆BAC (hai cạnh góc vuông).

c) Do tam giác ABC vuông tại A nên AC ⊥ AB tại A.

Tam giác ABD vuông tại B nên DB ⊥ AB tại B.

Suy ra AC // DB (do cùng vuông góc với AB).

$\Rightarrow \hat{B D A} = \hat{C A D}$ (hai góc so le trong).

Lại có: $\hat{A C B} = \hat{B D A}$ (do ∆ABD = ∆BAC).

Do đó, $\hat{C A D} = \hat{A C B}$ , hay $\hat{C A M} = \hat{A C M}$ .

Suy ra tam giác AMC cân tại đỉnh M.

Khi đó MA = MC.

Mà MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Nên MA = MB = MC.

Do đó, tam giác AMB cân tại đỉnh M.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 7 Kết nối tri thức khác