Giải bài 5 trang 45 sgk Giải tích 12

Trang trước
Trang sau  

Bài 5 (trang 45 SGK Giải tích 12): Cho hàm số y = 2x2 + 2mx + m - 1 có đồ thị là (Cm), m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để hàm số:

    i) Đồng biến trên khoảng (-1; +∞);

    ii) Có cực trị trên khoảng (-1; +∞).

c) Chứng minh rằng (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Lời giải:

a) Với m = 1 ta được hàm số: y = 2x2 + 2x

- TXĐ: D = ℝ

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: y' = 4x + 2

y' = 0 ⇔ 4x + 2 = 0 ⇔ x = −12

+ Bảng biến thiên:

Giải bài 5 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên (-∞; −12), đồng biến trên (−12; +∞).

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (−12; −12)

- Đồ thị:

Ta có: 2x2 + 2x = 0 ⇔ 2x(x + 1) = 0

⇒ x = 0; x = -1

+ Giao với Ox: (0; 0); (-1; 0)

+ Giao với Oy: (0; 0)

Đồ thị hàm số đi qua điểm (-2; 4), (1; 4)

Giải bài 5 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

b) Xét hàm số y = 2x2 + 2mx + m - 1

y' = 4x + 2m = 2(2x + m)

y' = 0 ⇒ x = −m2

Ta có bảng xét biến thiên :

Giải bài 5 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Từ bảng biến thiên ta thấy :

i) Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; +∞)

Giải bài 5 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1; +∞).

ii) Hàm số có cực trị trên khoảng (-1; +∞)

Giải bài 5 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy với m < 2 thì hàm số đã cho có cực trị trên khoảng (-1; +∞).

c) Nhận thấy: Giải bài 5 trang 45 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 với mọi m.

Suy ra, giá trị cực tiểu luôn nhỏ hơn 0 với mọi m.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng y = 0 (trục hoành) luôn cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (đpcm).

Tham khảo lời giải các bài tập Toán 12 bài ôn tập khác:

Các bài giải Toán 12 Giải tích Tập 1 khác:

Trang trước
Trang sau  
on-tap-chuong-1-giai-tich-12.jsp
Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học