Giải Toán 11 trang 82 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều

Trọn bộ lời giải bài tập Toán 11 trang 82 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 82. Bạn vào trang hoặc Xem lời giải để theo dõi chi tiết.

- Toán lớp 11 trang 82 Tập 1 (sách mới):

- Toán lớp 11 trang 82 Tập 2 (sách mới):

Lưu trữ: Giải Toán 11 trang 82 (sách cũ)

Video giải Bài 1 trang 82 SGK Đại số 11 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ ℕ*, ta có các đẳng thức:

a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{n (3 n + 1)}{2}$

b) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$

c) $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

a) 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{n (3 n + 1)}{2}$ (1)

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng $\frac{1. (3.1 + 1)}{2}$ = 2.

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = $\frac{k (3 k + 1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh

S_{k + 1} = 2 + 5 + 8 + ... + (3k - 1) + [3(k + 1) - 1] = $\frac{(k + 1) [3 (k + 1) + 1]}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k + 1} = (2 + 5 + 8 + \dots + 3 k - 1) + [3 (k + 1) - 1]$ = S_k + 3k + 2 = $\frac{k (3 k + 1)}{2}$ + 3k + 2

= $\frac{3 k^{2} + k + 6 k + 4}{2}$ = $\frac{3 k^{2} + 7 k + 4}{2}$ = $\frac{(k + 1) (3 k + 4)}{2}$ = $\frac{(k + 1) (3 k + 3 + 1)}{2}$

= $\frac{(k + 1) [3 (k + 1) + 1]}{2}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi n ∈ ℕ*.

b) $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n}}$ (2)

Với n = 1 thì vế trái bằng $\frac{1}{2}$ , vế phải bằng $\frac{1}{2}$

Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (2) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{k}} = \frac{2^{k} - 1}{2^{k}}$

Ta phải chứng minh S_{k + 1} = $\frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

$S_{k + 1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $S_{k} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $\frac{2^{k} - 1}{2^{k}} + \frac{1}{2^{k + 1}}$ = $= \frac{2 (2^{k} - 1) + 1}{2^{k + 1}}$

= $\frac{2^{k + 1} - 2 + 1}{2^{k + 1}}$ = $\frac{2^{k + 1} - 1}{2^{k + 1}}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi n ∈ ℕ*.

c) $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ (3)

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng $\frac{1 (1 + 1) (2 + 1)}{6}$ = 1

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k ≥ 1, tức là

S_k = $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + k^{2} = \frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6}$

Ta phải chứng minh S_{k + 1} = $\frac{(k + 1) (k + 2) [2 (k + 1) + 1]}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

S_k+1 = 1² + 2² + 3² + … + k² + (k + 1)² = S_k + (k + 1)²

= $\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + {(k + 1)}^{2}$ = $\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + 6 {(k + 1)}^{2}}{6}$

= $\frac{(k + 1) [k (2 k + 1) + 6 (k + 1)]}{6}$ = $\frac{(k + 1) (2 k^{2} + k + 6 k + 6)}{6}$

= $\frac{(k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6)}{6}$ = $\frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 3)}{6}$ = $\frac{(k + 1) (k + 2) (2 k + 2 + 1)}{6}$

= $\frac{(k + 1) (k + 2) [2 (k + 1) + 1]}{6}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp:

+ Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không.

+ Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Các bài giải bài tập Toán 11 Đại số Bài 1 Chương 3 khác:

Các bài giải bài tập Toán 11 Đại số Chương 3 khác:

Trang trước

Trang sau

phuong-phap-quy-nap-toan-hoc.jsp

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học