Giải Toán 11 trang 82 (sách mới) | Chân trời sáng tạo, Kết nối tri thức

Trọn bộ lời giải bài tập Toán 11 trang 82 Chân trời sáng tạo, Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 82. Bạn vào trang hoặc Xem lời giải để theo dõi chi tiết.

- Toán lớp 11 trang 82 Tập 1 (sách mới):

- Toán lớp 11 trang 82 Tập 2 (sách mới):

Lưu trữ: Giải Toán 11 trang 82 (sách cũ)

Video giải Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a. Cách 1: Quy nạp

Đặt A_n = n³ + 3n² + 5n

+ Ta có: với n = 1

A₁ = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (k³ + 3k² + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh A_{k + 1} chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k³ + 3k² + 5k ⋮ 3

Mà 3k² + 9k + 9 = 3.(k² + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ A_{k + 1} ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n³ + 3n² + 5n

= n.(n² + 3n + 5)

= n.(n² + 3n + 2 + 3)

= n.(n² + 3n + 2) + 3n

= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n³ + 3n² + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt A_n = 4ⁿ + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A₁ = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

A_k = (4^k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: A_{k + 1} chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4.4^k + 15k + 15 – 1

= 4.(4^k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

= 4.(4^k +15k- 1) – 45k + 18

= 4. A_k + (- 45k + 18)

Ta có: A_k⋮ 9 và ( - 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9

Nên A_{k + 1} ⋮ 9

Vậy 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. Cách 1: Chứng minh quy nạp.

Đặt U_n = n³ + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U₁ = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

U_k = (k³ + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: U_{k + 1} = (k + 1)³ + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12

= U_k + 3(k² + k + 4)

Mà: U_k ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k² + k + 4) ⋮ 6. (Vì k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ U_{k + 1} ⋮ 6.

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n³ + 11n

= n³ – n + 12n

= n(n² – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒ n³ + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

Kiến thức áp dụng

Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi n ∈ N bằng phương pháp quy nạp:

+ Kiểm tra mệnh đề (P) có đúng với n = 1 không.

+ Giả sử (P) đúng với n = k, cần chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1.

Các bài giải bài tập Toán 11 Đại số Bài 1 Chương 3 khác:

Các bài giải bài tập Toán 11 Đại số Chương 3 khác:

Trang trước

Trang sau

phuong-phap-quy-nap-toan-hoc.jsp

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học