Bài 142 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1

Bài 11: Hình thoi

Bài 142 trang 97 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Ta có: $\hat{A O B}$ = $\hat{C O D}$ (đối đỉnh)

$\hat{E O B} = \frac{1}{2} \hat{A O B}$ (giả thiết)

$\hat{C O G} = \frac{1}{2} \hat{C O D}$ (giả thiết)

Suy ra: $\hat{E O B} = \hat{C O G}$ .

Ta có: $\hat{E O B} + \hat{B O C} + \hat{C O G} = 2 \hat{E O B} + \hat{B O C}$

Mà $\hat{A O B} + \hat{B O C}$ = 180^o (kề bù).

Hay $2 \hat{E O B} + \hat{B O C}$ = 180^o

Suy ra: E, O, G thẳng hàng.

Ta lại có: $\hat{B O C} = \hat{A O D}$ (đối đỉnh)

$\hat{H O D} = \frac{1}{2} \hat{A O D}$ (giả thiết)

$\hat{F O C} = \frac{1}{2} \hat{B O C}$ (giả thiết)

Suy ra: $\hat{H O D} = \hat{F O C}$ .

$\Rightarrow \hat{H O D} + \hat{C O D} + \hat{F O C} = 2 \hat{H O D} + \hat{C O D}$

Mà $\hat{A O D} + \hat{C O D}$ = 180^o (kề bù).

Hay $2 \hat{H O D} + \hat{C O D}$ = 180^o

Suy ra: H, O, F thẳng hàng

Ta có: $\hat{A D O} = \hat{C B O}$ (so le trong)

Ta lại có: $\hat{H D O} = \frac{1}{2} \hat{A D O}$ (DH là phân giác $\hat{A D O}$ ), $\hat{F B O} = \frac{1}{2} \hat{C B O}$ (BF là phân giác $\hat{C B O}$ )

$\Rightarrow \hat{H D O} = \hat{F B O}$

Xét tam giác DHO và tam giác BFO, có:

OD = OB (tính chất hình bình hành)

$\hat{H O D} = \hat{F O B}$ (đối đỉnh)

$\hat{H D O} = \hat{F B O}$ (chứng minh trên)

Do đó: ΔBFO = ΔDHO (g.c.g)

⇒ OF = OH (hai cạnh tương ứng)

Vì $\hat{O A B} = \hat{O C D}$ (so le trong)

$\hat{O A E} = \frac{1}{2} \hat{O A B}$ (giả thiết)

$\hat{O C G} = \frac{1}{2} \hat{O C D}$ (giả thiết)

Suy ra: $\hat{O A E} = \hat{O C G}$ .

Xét ΔOAE và ΔOCG,ta có :

$\hat{O A E} = \hat{O C G}$ (chứng mình trên)

OA = OC (tính chất hình bình hành)

$\hat{E O A} = \hat{G O C}$ (đối đỉnh)

Do đó: ΔOAE= ΔOCG (g.c.g)

⇒ OE = OG (hai cạnh tương ứng)

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

OE ⊥ OF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) hay EG ⊥ FH

Vậy tứ giác EFGH là hình thoi.

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 8 (SBT Toán 8) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-11-hinh-thoi.jsp

Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học