(Số các tập con của tập hợp có n phần tử) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)^n

Vận dụng trang 36 Chuyên đề Toán 10: (Số các tập con của tập hợp có n phần tử)

a) Viết khai triển nhị thức Newton của (1 + x)ⁿ.

b) Cho x = 1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng (0 < k < n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho x = –1 trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải:

a) Ta có:

${(x + 1)}^{n} = C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} 1 + C_{n}^{2} x^{n - 2} 1^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} x 1^{n - 1} + C_{n}^{n} 1^{n}$

$= C_{n}^{0} x^{n} + C_{n}^{1} x^{n - 1} + C_{n}^{2} x^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1} x + C_{n}^{n} .$

b) Cho x = 1, ta được:

${(1 + 1)}^{n} = C_{2}^{0} 1^{n} + C_{n}^{1} 1^{n - 1} + C_{n}^{2} 1^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1} 1 + C_{n}^{n}$

hay $2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} .$

Ý nghĩa của đẳng thức này là tổng số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là 2ⁿ.

c) Cho x = –1, ta được:

${(- 1 + 1)}^{n} = C_{n}^{0} {(- 1)}^{n} {+C}_{n}^{1} {(- 1)}^{n - 1} + C_{n}^{2} {(- 1)}^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1} (- 1) + C_{n}^{n}$

hay $0 = C_{n}^{0} {(- 1)}^{n} {+C}_{n}^{1} {(- 1)}^{n - 1} + C_{n}^{2} {(- 1)}^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 1} (- 1) + C_{n}^{n} .$

Ý nghĩa của đẳng thức này là số tập con có chẵn phần tử và số tập hơp con có lẻ phần tử của một tập hợp gồm n phần tử là bằng nhau.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học