Tính chất của các số trang 34 Chuyên đề Toán 10

HĐ3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Tính chất của các số $C_{n}^{k}$

a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:

(a + b)¹ = a + b = $C_{1}^{0} a + C_{1}^{0} b$

(a + b)² = a² + 2ab + b² = $C_{2}^{0} a^{2} + C_{2}^{1} a b + C_{2}^{0} b^{2}$

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = $C_{3}^{0} a^{3} + C_{3}^{1} a^{2} b + C_{3}^{2} a b^{2} + C_{3}^{0} b^{3}$

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ = ...

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, $C_{4}^{1}$ và $C_{4}^{3}$ , $C_{5}^{2}$ và $C_{5}^{3}$ . Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n}^{k}$ và $C_{n}^{n - k}$ (0 ≤ k ≤ n).

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

Tính chất của các số trang 34 Chuyên đề Toán 10

Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh $C_{1}^{0} + C_{1}^{1}$ và $C_{2}^{1}$ , $C_{2}^{0} + C_{2}^{1}$ và $C_{3}^{1}$ ,... Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ và $C_{n}^{k} .$

Lời giải:

a) (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

= $C_{4}^{0}$ a⁴ + $C_{4}^{1}$ a³b + $C_{4}^{2}$ a²b² + $C_{4}^{3}$ ab³ + $C_{4}^{4}$ b⁴.

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

= $C_{5}^{0}$ a⁵ + $C_{5}^{1}$ a⁴b + $C_{5}^{2}$ a³b² + $C_{5}^{3}$ a²b³ + $C_{5}^{4}$ ab⁴ + $C_{5}^{5}$ b⁵.

Ta thấy $C_{4}^{1}$ = $C_{4}^{3}$ , $C_{5}^{2}$ = $C_{5}^{3}$ ,...

Dự đoán: $C_{n}^{k}$ = $C_{n}^{n - k}$ .

b) Ta thấy $C_{1}^{0} + C_{1}^{1}$ = $C_{2}^{1},$ $C_{2}^{0} + C_{2}^{1}$ = $C_{3}^{1}$ ,...

Dự đoán: $C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$ = $C_{n}^{k} .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học