Cho elip có phương trình chính tắc x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, với các tiêu điểm F1(-c;0), F2(c;0)

HĐ3 trang 43 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ , với các tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0), ở đây $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ (H.3.6). Xét các đường thẳng ∆₁ : x = $- \frac{a^{2}}{c}$ và ∆₂ : x = $\frac{a^{2}}{c}$ . Với điểm M(x; y) thuộc elip, tính các tỉ số $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})}$ và $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})}$ theo a và c.

Lời giải:

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₁ ở dạng: x + 0y + $\frac{a^{2}}{c}$ = 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:

d(M, Δ₁) = $\frac{|x + 0 y + \frac{a^{2}}{c}|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = |x + \frac{a^{2}}{c}| .$

Do MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x > 0 nên MF₁ = |a + $\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M F_{1}}{d (M, Δ_{1})} = \frac{|a + \frac{c}{a} x|}{|x + \frac{a^{2}}{c}|} = \frac{|\frac{a^{2} + c x}{a}|}{|\frac{x c + a^{2}}{c}|} = |\frac{c}{a}| = \frac{c}{a} .$

+) Viết lại phương trình đường thẳng Δ₂ ở dạng: x + 0y – $\frac{a^{2}}{c}$ = 0. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc elip, ta có:

d(M, Δ₂) = $\frac{|x + 0 y - \frac{a^{2}}{c}|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = |x - \frac{a^{2}}{c}| .$

Do MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x > 0 nên MF₂ = |a – $\frac{c}{a}$ x|,

suy ra $\frac{M F_{2}}{d (M, Δ_{2})} = \frac{|a - \frac{c}{a} x|}{|x - \frac{a^{2}}{c}|} = \frac{|\frac{a^{2} - c x}{a}|}{|\frac{x c - a^{2}}{c}|} = |\frac{c}{a}| = \frac{c}{a} .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học