Cho elip x^2/9 + y^2/5 = 1

Bài 3.3 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ .

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.

b)Tìm điểm M trên elip sao cho MF₁ = 2MF₂ với F₁ và F₂ là hai tiêu điểm của elip (hoành độ của F₁ âm).

Lời giải:

Có $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{9 - 5} = 2.$

a) Giả sử A nằm phía trên còn B nằm phía dưới trục Ox.

Khi đó toạ độ của A có dạng (c; y_A) hay (2; y_A) với y_A > 0;

toạ độ của B có dạng (c; y_B) hay (2; y_B) với y_B > 0.

Vì A thuộc elip nên

$\frac{2^{2}}{9} + \frac{{(y_{A})}^{2}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{{(y_{A})}^{2}}{5} = \frac{5}{9} \Rightarrow y_{A} = \frac{5}{3} .$

Vì B thuộc elip nên

$\frac{2^{2}}{9} + \frac{{(y_{B})}^{2}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{{(y_{B})}^{2}}{5} = \frac{5}{9} \Rightarrow y_{B} = - \frac{5}{3} .$

b) Gọi toạ độ của M là (x; y). Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$ x, MF₂ = a – $\frac{c}{a}$ x. Do đó:

MF₁ = 2MF₂ $\Leftrightarrow a + \frac{c}{a} x = 2 (a - \frac{c}{a} x)$

$\Leftrightarrow a = 3 \frac{c}{a} x \Leftrightarrow x = \frac{a^{2}}{3 c} = \frac{9}{3.2} = \frac{3}{2} .$

$\Rightarrow \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

$\Rightarrow \frac{y^{2}}{5} = \frac{3}{4} \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{15}}{2} .$

Vậy $M (\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{15}}{2})$ hoặc $M (\frac{3}{2}; - \frac{\sqrt{15}}{2}) .$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học