Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất lớp 9 (cực hay)

Bài viết Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất sau đó giải hệ phương trình tìm nghiệm (x;y) theo tham số m.

Bước 2: Thế x và y vừa tìm được vào biểu thức điều kiện, sau đó giải tìm m.

Bước 3: Kết luận.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng $\left\{\begin{array}{l}ax+by=c \left(1\right)\\ a\text{'}x+b\text{'}y=c\text{'} \left(2\right)\end{array}\right.$

Trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, x và y gọi là ẩn số.

- Tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi tập hợp các điểm

chung của hai đường thẳng 𝑑: ax + by = c và d’: a’x + b’y= c’.

Trường hợp: $d\cap d\text{'}=A(x_0;y_0)$⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình (m là tham số).

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn x² + y² = 5.

Hướng dẫn:

Vì nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y).

Vậy m = 1 hoặc m = –2 thì phương trình có nghiệm thỏa mãn đề bài.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình (a là tham số).

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là số nguyên.

Hướng dẫn:

Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) = (a;2).

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình: (I) (m là tham số).

Tìm m đề hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho 2x – 3y = 1.

Hướng dẫn:

Ví dụ 1. Dựa vào các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ để xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x-3y=-7\\ -3x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x-3y=-7\\ -3x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$có a = – 2; b = – 3; a’ = – 3; b = 2.

Xét $\frac{a}{a\text{'}}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3};\frac{b}{b\text{'}}=\frac{-3}{2}\Rightarrow \frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ mx+y=2m\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ mx+y=2m\end{array}\right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a\text{'}}\ne \frac{b}{b\text{'}}$

$\frac{1}{m}\ne \frac{1}{1}\Rightarrow 1.1\ne m.1\Rightarrow m\ne 1.$

Vậy $m\ne 1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Sử dụng hệ sau trả lời câu 1, câu 2, câu 3.

Cho hệ phương trình sau (I):

Câu 1: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x = y + 1.

 A. m = 0

 B. m = 1

 C. m = 0 hoặc m = –1

 D. m = 0 hoặc m = 1

Lời giải:

Vậy với m = 0 hoặc m = –1 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn đáp án C.

Câu 2: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0, y > 0.

 A. m > 0

 B. m < 0

 C. m < 1

 D. m > 1

Lời giải:

• 1 – m² < 0 ⇒ (1 – m)(1 + m) < 0 ⇒ m < –1 hoặc m > 1.(*)

• 2m > 0 ⇒ m > 0.(**)

Kết hợp điều kiện hai trương hợp trên, suy ra m > 1.

Vậy m > 1 thì thỏa mãn x < 0, y> 0.

Chọn đáp án D.

Câu 3: Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 1.

 A. m > 0

 B. với mọi m khác 0

 C. không có giá trị của m

 D. m < 1

Lời giải:

Vậy với mọi m khác 0 thì thỏa mãn điều kiện đề bài: x < 1.

Chọn đáp án B.

Sử dụng hệ sau trả lời câu 4, câu 5.

Cho hệ phương trình: .(m là tham số).

Câu 4: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x – 1 > 0. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 A. với mọi m thì hệ có nghiệm duy nhất.

 B. với m > 2 thì hệ có nghiệm thỏa mãn x – 1 > 0.

 C. với m > –2 thì hệ có nghiệm thỏa mãn x – 1 > 0.

 D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất .

Vậy m > – 4 thì thỏa mãn điều kiện x – 1 > 0.

Chọn đáp án D.

Câu 5: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

 A. với m = 0 hoặc m = 1 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 B. với m = 0 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 C. với m = 1 thì hệ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 D. Cả A, B, C đều đúng.

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Sử dụng hệ sau trả lời câu 6.

Cho hệ phương trình: .(m là tham số).

Câu 6: Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho 3x – y = 5.

 A. m = 2,

 B. m = – 2

 C. m = 0,5

 D. m = - 0,5

Lời giải:

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Vậy với m = ½ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn đáp án C.

Câu 7: Cho hệ phương trình: .(m là tham số).

Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x² – 2y² = –2.

 A. m = 0

 B. m = 2

 C. m = 0 hoặc m = –2

 D. m = 0 hoặc m = 2

Lời giải:

Trừ vế theo vế của pt (1) với pt (2) ta được: 3y = 3m – 3 ⇔ y = m - 1

Thế y = m - 1 vào pt: x – 2y = 2 ⇔ x – 2(m – 1) = 2 ⇔ x = 2m

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x = 2m; y = m – 1

Theo đề bài ta có: x² – 2y² = –2 ⇒ (2m)² – 2 (m – 1)² = –2

⇔ 4m² – 2m² + 4m – 2 = –2 ⇔ m² + 2m = 0

Vậy với m = 0 hoặc m = –2 thì hệ thỏa mãn điều kiện: x² – 2y² = –2.

Chọn đáp án C.

Câu 8: Cho hệ phương trình: . (m là tham số), có nghiệm (x;y). Với giá trị nào của m để A = xy + x – 1 đạt giá trị lớn nhất.

 A. m = 1

 B. m = 2

 C. m = –1

 D. m = 3

Lời giải:

Trừ vế theo vế của pt (1) với pt (2) ta được: 2x = 2m + 4 ⇔ x = m + 2

Thế x = m + 2 vào pt: x + y = 5 ⇔ m + 2 + y = 5 ⇔ y = 3 – m

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x = m + 2; y = 3 – m

Theo đề bài ta có:

A = xy + x – 1

= (m + 2)(3 – m) + m + 2 – 1

= – m² + 2m – 1 + 8

= 8 – (m – 1)² 8

Vậy A_max = 8 ⇔ m = 1

Vậy với m = 1 thì A đạt giá trị lớn nhất.

Chọn đáp án A.

Câu 9: Cho hệ phương trình: . (m là tham số), có nghiệm (x;y). Tìm m nguyên để T = y/x nguyên.

 A. m = 1

 B. m = –2 hoặc m = 0

 C. m = -2 và m = 1

 D. m = 3

Lời giải:

Để T nguyên thì (m + 1) là ước của 1.⇒ (m + 1)

• m + 1 = –1 ⇒ m = –2.

• m + 1 = 1 ⇒ m = 0.

Vậy với m = –2 hoặc m = 0 thì T nguyên.

Chọn đáp án B.

Câu 10: Tìm số nguyên m để hệ phương trình: . (m là tham số), có nghiệm (x;y) thỏa mãn x > 0, y < 0.

 A. m ∈ Z

 B. m ∈ {-3;-2;-1;0}

 C. vô số.

 D. không có

Lời giải:

hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

vậy m ∈ {-3;-2;-1;0} thì hệ thỏa mãn x > 0, y < 0.

Chọn đáp án B.

Bài 1. Cho Cho hai đường thẳng: d₁: 7x + 2y = 8, d₂: 2x – 7y = 5. Hệ phương trình của hai đường thẳng d₁ và d₂ có nghiệm duy nhất. Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Từ hai hai đường thẳng: d₁: 7x + 2y = 8, d₂: 2x – 7y = 5.

Ta có hệ phương trình trình $\left\{\begin{array}{l}7x+2y=8\\ 2x-7y=5\end{array}\right.$có nghiệm duy nhất.

Vì hệ phương trình có a = 7; b = 2; a’ = 2; b = – 7.

Xét $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{7}{2}; \frac{b}{b^{\text{'}}}=\frac{2}{-7}\Rightarrow \frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

Vậy nên hệ phương trình của hai đường thẳng d₁ và d₂ có nghiệm duy nhất.

Bài 2. Cho hai hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x-y=\frac{1}{2}\\ -3x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{4}\end{array}\right.$và $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}x=4y+3\\ -\sqrt{2}x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$. Hệ phương trình nào có nghiệm duy nhất?

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}-2x-y=\frac{1}{2}\\ -3x+\frac{3}{2}y=\frac{3}{4}\end{array}\right.$có a = – 2; b = – 1; a’ = – 3; b = $\frac{3}{2}$

Xét $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3};\frac{b}{b^{\text{'}}}=-1:\frac{3}{2}=\frac{-2}{3}\Rightarrow \frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}x=4y+3\\ -\sqrt{2}x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}x-4y=3\\ -\sqrt{2}x+2y=\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Có $a=2\sqrt{2}$; b = – 4; $a^{\text{'}}=-\sqrt{2}$; b’ = 2.

Xét $\frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{2\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=-2;\frac{b}{b^{\text{'}}}=\frac{-4}{2}=2\Rightarrow \frac{a}{a^{\text{'}}}=\frac{b}{b^{\text{'}}}$

Vậy hệ phương trình không có nghiệm duy nhất.

Bài 3. Cho phương trình: $5\sqrt{3}x+7y=-11-2\sqrt{3}$. Hãy viết thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để có được một hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Phương trình: $5\sqrt{3}x+7y=-11-2\sqrt{3}$ có $a=5\sqrt{3}$; b = 7.

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

Khi đó $\frac{5\sqrt{3}}{a^{\text{'}}}\ne \frac{7}{b^{\text{'}}}$ ví dụ a’ = 1 và b’ = 3 nên phương trình cần tìm là x + 3y = 1.

Bài 4. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+5y=-2\\ -(m-1)x=6y-1\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+5y=-2\\ -(m-1)x=6y-1\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}3x+5y=-2\\ -(m-1)x-6y=-1\end{array}\right.$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

$\frac{3}{-(m-1)}\ne \frac{-2}{-6}\Rightarrow 3.-6\ne -2.-(m-1)\Rightarrow 2m-2\ne -18\Rightarrow m\ne -8.$

Vậy $m\ne -8$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 5. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2(m+3)x+my=1\\ -x+4y=5\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀) và điểm biểu diễn A(x₀; y₀) thuộc trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ⇔ $\frac{a}{a^{\text{'}}}\ne \frac{b}{b^{\text{'}}}$

$\frac{2(m+3)}{-1}\ne \frac{m}{4}\Rightarrow 4(2m+6)\ne -1.m\Rightarrow 8m+24\ne -m\Rightarrow m\ne \frac{-8}{3}$

A(x₀; y₀) thuộc trục hoành nên y₀ = 0.

Vì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; 0) nên ta thay x = x₀ và y₀ = 0 phương trình – x + 4y = 5 ta được: – x₀ + 4 . 0 = 5 ⇔ x₀ = 1.

Thay x₀ = 1 và y₀ = 0 vào phương trình 2(m + 3)x + my = 1 ta được 2m + 6 = 1 $\Rightarrow m=\frac{-5}{2}$

Vậy $\Rightarrow m=\frac{-5}{2}$ thì hệ có nghiệm duy nhất thuộc trục hoành.

Bài 6. Cho phương trình: 3x – 4y = – 19. Hãy viết thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để có được một hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 7. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3mx+y=-2m\\ -3x-my=-1+3m\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 8. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2mx+my=1\\ -3x+2y=5\end{array}\right.$. Xác định các giá trị của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x₀; y₀) và điểm biểu diễn A(x₀; y₀) thuộc trục tung.

Bài 9. Các hệ phương trình dưới đây có nghiệm duy nhất. Vì sao?

a) $\left\{\begin{array}{l}2x-4y=3\\ -3x+y=5\end{array}\right.$;	b) $\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\ -x+y=1\end{array}\right.$;
c) $\left\{\begin{array}{l}2\sqrt{2}+1x-\frac{1}{3}y=0\\ -2\sqrt{2}-1x+\frac{1}{3}y=0\end{array}\right.$;	c) a) $\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}+1}{3}x+\frac{\sqrt{3}-1}{3}y=1\\ 0x-y=1\end{array}\right.$;

 Bài 10. Cho ba đường thẳng: d₁: 2x + y = 3, d₂: x – 4y = 6 và d₃: (2m + 1)x + my = 2m – 3. Tìm các giá trị của tham số m để ba đường thẳng d₁, d₂ và d₃ đồng quy

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án chi tiết hay khác:

• Giải HPT bằng phương pháp thế.

• Giải HPT bằng phương pháp cộng đại số.

• Giải HPT bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

• HPT bậc nhất hai ẩn chứa tham số.

• Tìm điều kiện của m để HPT có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức liên hệ giữa x và y – không phụ thuộc vào m

---