Thể tích hình tròn (Bài tập và Cách giải)

Trang trước Trang sau

Cách giải bài tập Thể tích hình tròn sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 9.

A. Phương pháp giải

Cho hình cầu có bán kính đáy R. Khi đó:

- Diện tích mặt cầu: S = 4πR²

- Thể tích V = $\frac{4}{3}$ πR³.

Như vậy, vận dụng các công thức trên để tính bán kính hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình cầu có bán kính đáy R = 4 (cm). Diện tích mặt cầu?

Hướng dẫn giải:

Hình hình cầu có bán kính đáy R = 4 (cm).

Do đó,diện tích mặt cầu của hình cầu đó là:

S = 4πR² = 4π.4² = 64π (cm²).

Ví dụ 2. Cho hình cầu có đường kính đáy d = 12 (m). Tính thể tích hình cầu?

Hướng dẫn giải:

Ta có đường kính là d = 2R = 12 (m)

Do đó R = 6 m.

Thể tích hình trụ là: V = $\frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π 6^{3}$ = 288π (m³)

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Điền kết quả vào ô trống sau:

Loại bóng	Bóng gôn	Bóng khúc côn cầu	Bóng ten – nis	Bóng bàn	Bóng bi – a
Đường kính	42,7 mm			40 mm	61 mm
Bán kính		25 cm	3,25 cm
Diện tích
Thể tích

Hướng dẫn giải:

Ta thu được bảng sau:

Loại bóng	Bóng gôn	Bóng khúc côn cầu	Bóng ten – nis	Bóng bàn	Bóng bi – a
Đường kính	42,7 mm	50 cm	6,5 cm	40 mm	61 mm
Bán kính	21,35 mm	25 cm	3,25 cm	2 cm	20,3 mm
Diện tích	572,803 cm²	78,5 dm²	132,73 mm²	5026,55 mm²	116,89 cm²
Thể tích	13251,67 mm³	65,416 dm³	143,79 cm³	33510,32 mm³	118,84 cm³

Bài 2. Cho một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3cm và chiều cao h = 4cm. Một hình cầu có diện tích bằng diện tích xung quang của hình trụ. Tính bán kính của hình cầu?

Hướng dẫn giải:

Ta có ình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3cm và chiều cao h = 4cm

Diện tích xung quanh của hình trụ là

S_xq = 2πrh = 2π.3.4 = 24π (cm²) ⇔ R = 3.

Mặt khác hình cầu có diện tích bằng diện tích xung quang của hình trụ là 24π (cm²) nên S = 4πR² = 24π ⇔ R² = 6. Suy ra R = $\sqrt{6}$

Vậy bán kính của hình cầu là $\sqrt{6}$ cm

Bài 3. Quả bóng hình cầu có thể tích V = 36π (cm³). Hãy tính đường kính và diện tích mặt cầu?

Hướng dẫn giải:

Ta có: V = 36π (cm³).

Mà V = $\frac{4}{3}$ πR³ = 36π (cm³).

Suy ra, R³ = $V : \frac{4 π}{3} = 36 π : \frac{4 π}{3}$ = 27

Khi đó R = $\sqrt[3]{27}$ = 3 (cm)

Do đó, đường kính là: d = 2R = 6(cm)

Diện tích mặt cầu là S = 4πR² = 4π.3² = 36π (cm²)

Bài 4. Một hình cầu có bán kính là 3 cm và một hình nón cũng có bán kính 3 cm. Biết rằng diện tích toàn phần của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón

Hướng dẫn giải:

Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón

Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau cùng bằng 3cm nên ta có 4πR² = πRl + πR² hay 4R² = Rl + R²

Suy ra l = 3R = 3.3 = 9 (cm)

Do đó, sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có:

h²= 1² – R² = 9² – 3² = 72

Khi đó chiều cao của hình nón là h = $\sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$ (cm)

Bài 5. Cho hình cầu và hình trụ ngoại tiếp nó (đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng đường kính của hình cầu). Tính tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh hình trụ.

Hướng dẫn giải:

Thể tích hình tròn

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Vì diện tích mặt cầu của hình cầu đó là S = 4πR² còn diện tích xung quanh của hình trụ là S_xq = 2πRh = 2πR.2R = 4πR².

Vậy tỉ số giữa diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh hình trụ là $\frac{S}{S_{x q}} = \frac{4 π R^{2}}{4 π R^{2}} = 1$

Bài 6. Thể tích của một hình cầu là V = 36π (cm³). Tính diện tích mặt cầu đó.

Bài 7. Một hình nón có bán kính đáy r (cm), chiều cao 2r (cm) và hình cầu có bán kính r (cm). Hãy tính:

a) Diện tích mặt cầu, biết rằng diện tích toàn phần hình nón là 21,06 cm²;

b) Thể tích của hình nón, biết rằng thể tích hình cầu là 15,8 cm³.

Bài 8. Cho một hình cầu và một lập phương ngoại tiếp nó. Tính tỉ số phần trăm giữa

a) Diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình lập phương;

b) Thể tích hình cầu và thể tích hình lập phương.

Bài 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh AB bằng 8cmvà đường cao AH. Hãy tính diện tích mặt cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác ABC một vòng quanh AH.

Bài 10. Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB = 2R, Ax và By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn . Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.

a) Chứng minh rằng MNO và APB là hai tam giác vuông đồng dạng;

b) Chứng minh AM.AN = R²;

c) Tính tỉ số $\frac{S_{M O N}}{S_{A P B}}$ khi AM = $\frac{R}{2}$ ;

d) Tính thể tích của hình do nửa đường tròn APB quay quanh AB sinh ra.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Các loạt bài lớp 9 khác