d song song d’ (Bài tập và Cách giải)

Cách giải bài tập d song song với d' (d // d’) với phương pháp giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 9.

A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với (a, a’≠ 0).

Khi đó ta có: d // d' ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$ và d ≡ d' ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right.$.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: y = 3x + 1 và đường thằng d’: y = 3x – 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng đó có song song hay không?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: y = 3x + 1 ứng với a = 3, b = 1.

 đường thằng d’: y = 3x – 2 ứng với a’ = 3, b’ = – 2.

Vì $\left\{\begin{array}{l}3=3\\ 1\ne -2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$ nên hai đường thẳng trên song song với nhau.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = 7 – ax. Hãy xác định hệ số a trong trường hợp đồ thị hàm số song song với đường thằng y = 4x.

Hướng dẫn giải

Hàm số y = 7 – ax có đồ thị là đường thẳng d

Để d song song với đường thằng y = 4x thì $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}-a=4\\ 7\ne 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=4\\ 7\ne 0\end{array}\right.$

Vậy a = 4 thì đồ thị hàm số song song với đường thằng y = 4x.

C. Bài tập

Bài 1. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song, trùng nhau trong số các đường thẳng sau:

a) (d₁): y = x – 3 ;

b) (d₂): y = 1,5x – 1;

c) (d₃): 2y = 2x – 6;

d) (d₄): y = 2x – 6;

e) (d₅): y = x + 5;

f) (d₆): y = 1,5x + 1.

Hướng dẫn giải

Ta thấy rằng:

Đường thẳng d₁ song song d₅ do $\left\{\begin{array}{l}1=1\\ -3\ne 5\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$.

Đường thẳng d₂ song song d₆ do $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,5}=\mathrm{1,5}\\ -1\ne 1\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$.

Đường thẳng (d₃): 2y = 2x – 6 hay y = x – 3.

Do đó, đường thẳng d₁ song song d₃ do $\left\{\begin{array}{l}1=1\\ -3\ne -3\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right.$.

Bài 2. Cho hai hàm số: y = 2x + 3k và y = (2m + 1) + 2k – 3. Tìm điều kiện của m và k đề đồ thị của hai hàm số là:

a) Hai đường thẳng song song;

b) Hai đường thẳng trùng nhau

Hướng dẫn giải

Gọi đồ thị của hàm số y = 2x + 3k là d

đồ thị của hàm số y = (2m + 1) + 2k – 3 là d’

a) Để hai đường thẳng song song thì $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$ hay

$\left\{\begin{array}{l}2=2m+1\\ 3k\ne 2k-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m=1\\ k\ne -3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ k\ne -3\end{array}\right.$

Vậy $m=\frac{1}{2},k\ne -3$ để hai đường thẳng song song.

b) Để đường thẳng trùng nhau thì hay $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right.$ hay

$\left\{\begin{array}{l}2=2m+1\\ 3k=2k-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2m=1\\ k=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ k=-3\end{array}\right.$

Vậy $m=\frac{1}{2},k=-3$ để hai đường thẳng trùng nhau.

Bài 3. Cho hai đường thẳng là

d₁: y = mx – 2(m + 2) và d₂: y = (2m – 3)x + (m² + 1). Hãy tìm các giá trị của m để:

a) d₁ song song d₂;

b) d₁ trùng với d₂.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng d₁: y = mx – 2(m + 2) ứng với a = m và b = – 2(m + 2)

và d₂: y = (2m – 3)x + (m² + 1) ứng với a’ = 2m – 3 và b’ = m² + 1.

a) Vì d₁ song song d₂ nên $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$ hay

$\left\{\begin{array}{l}m=2m-3\\ -2\left(2m+2\right)\ne m^2+1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ -4m-4\ne m^2+1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ m^2+4m+5\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ \forall m\ne 0\end{array}\right.$

Vậy m = 3 thì d₁ song song d₂.

b) Vì d₁ trùng với d₂ nên $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right.$ hay

$\left\{\begin{array}{l}m=2m-3\\ -2\left(2m+2\right)=m^2+1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ -4m-4=m^2+1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ m^2+4m+5=0\end{array}\right.$

Ta thấy m² + 4m + 5 = 0 (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn để d₁ trùng với d₂.

Bài 4. Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 và song song voứi đường thẳng OA, trong đó O là gốc tọa độ và điểm A($\sqrt{2}$;1).

Hướng dẫn giải.

Vì đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 nên: b = – 2.

Đường thẳng OA có dạng: y = a’x + b’

Vì đường thẳng đi qua điểm O(0; 0) nên: 0 = a’.0 + b’ Suy ra b’ = 0.

Vì đường thẳng đi qua điểm A($\sqrt{2}$;1) nên: 1 = $a\text{'}.\sqrt{2}+0$ => a' = $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy đường thẳng OA có phương trình là: $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x$

Vì đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng A nên: $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và b = – 2

Bài 5. Cho hai đường thẳng (d₁): y = (2 – m²)x + n – 5 và (d₂): y = mx + 3n – 7. Tìm các giá trị của m và n để hai đường thẳng song song với nhau.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng (d1): y = (2 – m²)x + n – 5  ứng với a = 2 – m² và b = n – 5

và (d2): y = mx + 3n – 7 ứng với a’ = m và b’ = 3n – 7.

a) Để d₁ song song d₂ thì $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$ hay

$\left\{\begin{array}{l}2-m^2=m\\ m-5\ne 3n-7\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m-2=0\\ -2n\ne -2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m+2\right)\left(m-1\right)=0\\ n\ne 1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m+2=0\\ m-1=0\end{array}\right.\\ n\ne 1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=-2\\ m=1\end{array}\right.\\ n\ne 1\end{array}\right.$

Vậy m = 1 hoặc m – 2 và n ≠ 1 thì d₁ song song d₂.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai đường thằng y = 3x + 2 và – 3x – 2 = – y. Hai đường thẳng có trùng nhau hay không?

Bài 2. Tìm a để đường thẳng y = ax + 4 song song với đường thẳng y = – 3x – 1.

Bài 3. Cho hai hàm số bậc nhất y = 2mx + 1 và y = (m – 1)x + 3. Tìm các giá trị của m để đồ thị của chúng là hai đường thẳng song song.

Bài 4. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3. Tìm giá trị của m để hàm số:

a) Luôn đồng biến? Luôn nghịch biến?

b) Có đồ thị song song và vuông góc với đường thẳng y’ = 3x – 3 + m.

Bài 5. Cho ba đường thẳng là

d1: y = x + 2; d2: y = 2x + 1 và d3: y = (m2 + 1)x + m.

a) Xác định tọa độ giao điểm của d1 và d2 ;

b) Tìm các giá trị của tham số m để d2 và d3 song song; d1 và d3  trùng nhau; 3 đường thẳng đồng quy.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 hay khác:

• Bài tập về hình trụ
• Bài tập về hình nón
• Cách giải bài tập d1 cắt d2
• Tìm các căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau
• So sánh căn bậc ba
• Thể tích hình tròn

---