Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh lớp 9 (cực hay)

Bài viết Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.

Nhắc lại kiến thức

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và các cạnh góc vuông b, c.

1. Định lý: Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng

- Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

- Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc nhân với cot góc kề.

2. Như vậy, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có hệ thức

• b = a.sinB = a.cosC = c.tanB = c.cotC

• c = a.sinC = a.cosB = b.tanC = b.cotB

A. Phương pháp giải

• Áp dụng định lý Py-ta-go để tìm cạnh còn lại.

• Xác định cạnh kề, cạnh đối, viết tỉ số lượng giác.

• Tính góc nhọn còn lại nhờ quan hệ phụ nhau.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB = 25 cm, HC = 64 cm. Tính , .

Hướng dẫn giải:

+) Xét ΔABC vuông tại A có đường cao AH nên:

AH² = BH.CH (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ví dụ 2: Cho tam giác MNP vuông tại M có MN = 6 cm, MP = 8 cm. Tính NP, .

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Py – ta – go cho tam giác MNP vuông tại M ta có:

NP² = MN² + MP²

⇒ NP² = 6² + 8² = 100

⇒ NP² = = 10 (cm)

Xét tam giác MNP vuông tại M có:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, biết AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Tính từ đó suy ra số đo góc , .

Hướng dẫn giải:

a) Xét tam giác ABC có:

+) AC² + AB² = 21² + 28² = 1225

+) BC² = 35² = 1225

AC² + AB² = BC² ⇒ ΔABC vuông tại A ( định lý Py – ta – go đảo)

b) Xét tam giác ABC vuông tại A nên:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm. Tính góc B của tam giác ABC. (Làm tròn kết quả đến độ)

A. 37^o

B. 90^o

C. 47^o

D. 53^o

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC có:

AB² + AC² = 6² + 4,5² = 56,25

BC² = 7,5² = 56,25

⇒ AB² + AC² = BC²

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A

Bài 2: Tính giá trị của x trong hình vẽ dưới đây biết AB = 15cm, AC = 24 cm và D là trung điểm của cạnh AC.

A. x ≈ 51^o

B. x ≈ 53^o

C. x ≈ 39^o

D. x ≈ 40^o

Hướng dẫn giải:

Do D là trung điểm của AC nên ta có: AD = DC = = 12 (cm)

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

hay x ≈ 51^o

Đáp án A.

Bài 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có AB = 7cm, BC = 12cm. Tính độ dài đường phân giác BD của tam giác ABC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. 10cm

B. 6,2 cm

C. 7,9 cm

D. 8,2 cm

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

Do BD là đường phân giác góc B của tam giác ABC nên

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

Đáp án C.

Bài 4: Cho tam giác ABC có AC = 12 cm, AB = 9 cm, BC = 15 cm. Tính số đo góc C. (Làm tròn kết quả đến độ)

A. 37^o

B. 90^o

C. 47^o

D. 53^o

Hướng dẫn giải:

+) Xét tam giác ABC có:

AB² + AC² = 9² + 12² = 225

BC² = 15² = 225

⇒ AB² + AC² = BC²

Theo định lí Py – ta – go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A

+) Ta có: sin C =

Bài 5: Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tại với mặt đất (góc α trong hình dưới đây)

A. α ≈ 30^o

B. α ≈ 60^o

C. α ≈ 69^o

D. α ≈ 31^o

Hướng dẫn giải:

Trong hình vẽ trên, AC là cột đèn có chiều cao 7m, AB là bóng của cột đèn

Vậy suy ra tam giác ABC là tam giác vuông tại A có AC = 7m, AB = 4m.

Ta có: tanα =

Vậy góc mà tia sang mặt trời tạo với mặt đất α ≈ 60^o.

Đáp án B.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm, BC = 10cm, đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H lần lượt trên AB, AC. Tính EF.

Hướng dẫn giải:

Xét tứ giác AEHF có:

= 90^o (gt) ⇒ tứ giác AEHF là hình chữ nhật

⇒ AH = FE (tính chất hình chữ nhật)

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

Xét tam giác ABH có = 90^o ⇒ ΔABH là tam giác vuông tại H

Ta có: AH = AB.sin = 6.sin53^o 4,8 (cm)

⇒ EF = AH = 4,8 cm

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 11cm, AC = 9cm, = x, = y. Hiệu y - x có giá trị là:

A. 51^o

B. 39^o

C. 12^o

D. 22^o

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

+)

+) ( tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

⇔ 39^o + y = 90^o

⇒ y = 90^o - 39^o = 51^o

Vậy y – x = 51^o - 39^o = 12^o

Đáp án C.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Hãy giải tam giác ABC nếu biết:

a) AB = 6 cm và AC = 9 cm;

b) AB =15 cm và HB = 9 cm;

c) AC = 44 cm và BC = 55 cm.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, (AB < AC) có đường cao AH và AH = 12cm; BC = 25cm.

a) Tìm độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AB và AC.

b) Vẽ trung tuyến AM . Tìm số đo của góc $\widehat{AMH}$.

c) Tính diện tích tam giác AHM.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB = 3 cm, AC = 4 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BC và AH;

b) Tính số đo các góc $\hat{B}$ và $\hat{C}$;

c) Đường phân giác trong góc $\hat{A}$ cắt cạnh BC tại E. Tính độ dài các đoạn thẳng BE và CE.

Bài 11. Cho tam giác DEF biết DE = 6 cm, DF = 8 cm, EF =10 cm.

a) Chứng minh tam giác DEF là tam giác vuông;

b) Vẽ đường cao DK. Hãy tính độ dài đoạn thẳng DK và FK;

c) Giải tam giác vuông EDK;

d) Vẽ phân giác trong DM của tam giác DEF. Tính các độ dài các đoạn thẳng ME và MF;

e) Tính $\sin \hat{F}$ trong các tam giác vuông DFK và DEF. Từ đó suy ra ED . DF = DK . EF.

Bài 12. Tứ giác MNEF vuông tại M, F, có EF là đáy lớn, hai đường chéo ME và NF vuông góc với nhau tại O. Cho biết MN = 9cm và MF = 12cm. Hãy:

a) Giải tam giác MNF;

b) Tính độ dài các đoạn thẳng MO và FO;

c) Kẻ NH vuông góc với EF tại H. Tính diện tích tam giác FNE. Từ đó tính diện

tích tam giác FOH .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

• Cách giải tam giác nhọn dựa vào các hệ thức trong tam giác vuông
• Cách tính cạnh và tính góc trong tam giác vuông cực hay
• Cách tính độ dài cạnh góc vuông trong tam giác vuông cực hay
• Cách dựng cạnh huyền, dựng đoạn trunh bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước
• Cách chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác vuông cực hay

---