Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 (cực hay)
Bài viết Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh hệ thức lượng giác trong tam giác vuông.
1. Cho góc nhọn α, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc α, kẻ đường vuông góc với cạnh kia.
Khi đó:
2. Nếu hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng 900) thì: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia
• Tính tỉ số lượng giác theo định nghĩa.
• Nhân hay chia theo vế các tỉ số lượng giác.
• Áp dụng hệ thức Py-ta-go.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng .
Hướng dẫn giải:
Xét ΔABC vuông tại A có:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có = α ( với 0o < α < 900 ). Chứng minh các hệ thức lượng giác sau:
a) tanα . cotα = 1
b) sin2α + cos2α = 1
c) 1 + tan2α =
d) 1 + cot2α =
Hướng dẫn giải:
Xét ΔABC vuông tại A có:
Ví dụ 3: Cho α là một góc nhọn bất kì.
a) Chứng minh rằng
b) Hãy tính giá trị của biểu thức M = với tanα =
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
Vậy M = -4 .
Ví dụ 4: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α:
a) A = cos4α + 2cos2αsin2α + sin4α
b) B = sin4α + cos2α.sin2α + cos2α
c) C = - 2tan2α
Hướng dẫn giải:
a) A = cos4α + 2cos2αsin2α + sin4α
= (cos2α)2 + 2cos2αsin2α + (sin2α)2
= (cos2α + sin2α)2 (do sin2α + cos2α = 1)
= 1
b) B = sin4α + cos2α.sin2α + cos2α
= (sin4α + cos2α . sin2α) + cos2α
= sin2α . (sin2α + cos2α) + cos2α (do sin2α + cos2α = 1)
sin2α . 1 + cos2α = 1
Ví dụ 5: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x - cos4x = sin2x - cos2x
b) sin4x + sin2x.cos2x + sin2x = 2sin2x
c) (1 + tanx)(1 + cotx) - 2 =
Hướng dẫn giải:
a) sin4x - cos4x = sin2x - cos2x
⇔ (sin2x - cos2x)(sin2x - cos2x) = sin2x - cos2x
⇔ (sin2x - cos2x).1 - (sin2x - cos2x) = 0 (do sin2x + cos2x = 1)
⇔ 0 = 0 luôn đúng
b) sin4x + sin2x.cos2x + sin2x = 2sin2x
⇔ sin2x.(sin2x + cos2x + 1) = 2sin2x
⇔ sin2x.(1 + 1) = 2sin2x (do sin2x + cos2x = 1)
⇔ 2sin2x = 2sin2x (luôn đúng)
Ví dụ 6: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào số đo của góc nhọn α
a) cos2α.cosβ2 + cos2α.sinβ2 + sin2α
b) 2(sinα - cosα)2 - (sinα + cosα)2 + 6sinα.cosα
c) (tanα - cotα)2 - (tanα + cotα)2
Hướng dẫn giải:
a) cos2α.cosβ2 + cos2α.sinβ2 + sin2α
= cos2α.(cosβ2 + sinβ2) + sin2α (do sin2β + cos2β = 1)
= cos2α.1 + sin2α (do sin2α + cos2α = 1)
= 1
b) 2(sinα - cosα)2 - (sinα + cosα)2 + 6sinα.cosα
= 2(sin2α - 2sinα.cosα + cos2α) - (sin2α + 2sinα.cosα + cos2α) + 6sinα.cosα
= 2sin2α - 4sinα.cosα + 2cos2α - sin2α - 2sinα.cosα + 6sinα.cosα
= (2sin2α - sin2α) + (2cos2α - cos2α) + (-4sinα.cosα - 2sinα.cosα + 6sinα.cosα)
= sin2α + cos2α (do sin2α + cos2α = 1)
= 1.
c) (tanα - cotα)2 - (tanα + cotα)2
= [(tanα - cotα) + (tanα + cotα)] . [(tanα - cotα) - (tanα - cotα)]
= (tanα - cotα + tanα + cotα)(tanα - cotα - tanα - cotα)
= 2tanα.(-2cotα)
= -4tanα.cotα ( do tanα.cotα = 1 )
= -4.1 = -4
Ví dụ 7: Chứng minh định lý sin: Trong tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các góc đối diện:
Hướng dẫn giải:
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:
- Cho biết một tỉ số lượng giác của góc nhọn a tính các tỉ số lượng giác còn lại của a
- Cách tính giá trị biểu thức lượng giác (không dùng máy tính) cực hay
- Cách so sánh các tỉ số lượng giác không dùng máy tính
- Giải tam giác vuông biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn
- Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh cực hay
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9