Cách so sánh các tỉ số lượng giác không dùng máy tính

Bài viết Cách so sánh các tỉ số lượng giác không dùng máy tính lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách so sánh các tỉ số lượng giác không dùng máy tính.

Nhắc lại kiến thức:

1. Cho α, β là hai góc nhọn. Nếu α < β thì:

• sinα < sinβ; tanα < tanβ

• cosα > cosβ; cotα > cotβ

2. sinα < tanα và cosα < cotα

3. Cho góc nhọn x (0^o < 0 < 90^o), ta có:

• sinx = cos(90^o - x)

• cosx = sin(90^o - x)

• tanx = cot(90^o - x)

• cotx = tan(90^o - x)

A. Phương pháp giải

• Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một loại.

• Biểu diễn tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt trên trục số.

• Chèn các tỉ số cần sắp xếp lên trục số ta được thứ tự của chúng.

Ví dụ 1: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ

a) sin78^o, cos14^o, sin47^o, cos87^o

b) tan73^o, cot25^o, tan62^o, cot38^o

Hướng dẫn giải:

a) sin78^o, cos14^o, sin47^o, cos87^o

Ta có:

• sin78^o = cos(90^o - 78^o) = cos12^o

• sin47^o = cos(90^o - 47^o) = cos43^o

Do nếu α < β thì cosα > cosβ nên ta có: cos12^o > cos14^o > cos43^o > cos87^o

Hay sin78^o > cos14^o > sin47^o > cos87^o

b) tan73^o, cot25^o, tan62^o, cot38^o

Ta có:

• cot25^o = tan(90^o - 25^o) = tan65^o

• cot38^o = tan(90^o - 38^o) = tan52^o

Do nếu α < β thì tanα < tanβ nên ta có tan73^o > tan65^o > tan62^o > tan52^o

Hay tan73^o > cot25^o > tan62^o > cot38^o

Ví dụ 2: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy so sánh:

a) tan28^o và sin28^o

b) cot42^o và cos42^o

c) cot73^o và sin17^o

Hướng dẫn giải:

a) Do sinα < tanα nên sin28^o < tan28^o

b) Do cosα < cotα nên cos42^o < cot42^o

c) Ta có: cot73^o = tan(90^o - 73^o) = tan17^o

Do sinα < tanβ nên sin17^o < tan17^o ⇔ sin17^o < cot73^o

Ví dụ 3: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn

a) sin20^o, cos20^o, sin55^o, cos40^o, tan70^o

b) tan70^o, cot60^o, cot65^o, tan50^o, sin25^o

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

• cos40^o = sin(90^o - 40^o) = sin50^o

• cos20^o = sin(90^o - 20^o) = sin70^o

Do nếu α < β thì sinα < sinβ ⇒ sin20^o < sin50^o < sin55^o < sin70^o < tan70^o

b) Ta có:

• cot60^o = tan(90^o - 60^o) = tan30^o

• cot65^o = tan(90^o - 65^o) = tan25^o

Do nếu α < β thì tanα < tanβ ⇒ sin25^o < tan25^o < tan30^o < tan50^o < tan70^o

Ví dụ 4: Không dùng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi, hãy so sánh:

a) tan42^o và sin42^o

b) cot11^o và cos11^o

c) tan32^o và cos58^o

Hướng dẫn giải:

a) tan42^o và sin42^o

Do sinα < tanα nên sin42^o < tan42^o

b) cot11^o và cos11^o

Do cosα < cotα nên cot11^o > cos11^o

c) tan32^o và cos58^o

Ta có: cos58^o = sin(90^o - 58^o) = sin32^o

Do sinα < tanα nên sin32^o < tan32^o hay cos58^o < tan32^o

Ví dụ 5: Không dùng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi, hãy so sánh:

a) sin25^o và sin70^o

b) cos40^o và cos75^o

c) tan50^o28' và tan63^o

d) cot14^o và cot35^o12'

Hướng dẫn giải:

a) Do nếu α < β thì sinα < sinβ ⇒ sin25^o < sin70^o

b) Do nếu α < β thì cosα > cosβ nên ta có: cos40^o > cos75^o

c) Do nếu α < β thì tanα < tanβ nên ta có: tan50^o28' < tan63^o

d) Do nếu α < β thì cotα > cotβ nên ta có: cot14^o > cot35^o12'

Ví dụ 6: Không dùng bảng số và máy tính bỏ túi, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần

a) cos22^o, sin35^o, cos37^o, cos63^o, sin44^o

b) tan82^o, cot36^o, cot27^o, tan12^o

Hướng dẫn giải:

a) cos22^o, sin35^o, cos37^o, cos63^o, sin44^o

Ta có:

• cos22^o = sin(90^o - 22^o) = sin68^o

• cos37^o = sin(90^o - 37^o) = sin53^o

• cos63^o = sin(90^o - 63^o) = sin27^o

Do nếu α < β thì sinα < sinβ ⇒ sin27^o < sin35^o < sin44^o < sin53^o < sin68^o

Hay cos63^o < sin35^o < sin44^o < cos37^o < cos22^o

b) tan82^o, cot36^o, cot27^o, tan12^o

Ta có:

• cot36^o = tan(90^o - 36^o) = tan54^o

• cot27^o = tan(90^o - 27^o) = tan63^o

Do nếu α < β thì tanα < tanβ ⇒ tan12^o < tan54^o < tan63^o < tan82^o

Hay tan12^o < cot36^o < cot27^o < tan82^o

Bài 1.  Cho α là góc nhọn. Hãy sắp xếp tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần (không dùng bảng lượng giác và máy tính): cot40°, sin50°, cos55°, tan70°.

Hướng dẫn giải

Ta có: cot40° = tan50° ; cos55° = sin35°

Vì khi $0°<\alpha <90°$ thì α càng lớn thì sin α càng lớn.

Suy ra sin35° < sin50° hay cos55° < sin50° (1)

Vì khi $0°<\alpha <90°$ thì α càng lớn thì tan α càng lớn.

Suy ra tan50° < tan70° hay cot40° < tan70° (2)

Vì khi $0°<\alpha <90°$ thì

Suy ra sin50° < tan50° hay sin50° < cot40° (3)

Từ (1); (2) và (3): cos55° < sin50° < cot40° < tan70°

Nên sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: cos55°; sin50°; cot40°; tan70°.

Bài 2. Không dùng bảng lượng giác và máy tính hãy so sánh: cos24° và tan50°.

Hướng dẫn giải

Vì $\tan 50°=\frac{\sin 50°}{cos 50°}=\frac{cos 40°}{cos 50°}$

Mà $40°<50°\Rightarrow cos 40°>cos 50°$ (Nếu α < β thì: cosα > cosβ)

Suy ra $\frac{cos 40°}{cos 50°}$ hay tan50° < 1.

Mặt khác cos24° < 1.

Vậy cos24° < tan50⁰.

Bài 3. Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến bé (không dụng máy tính)

a) $\tan 12°,cot61°,\tan 28°,cot79°15\text{'},\tan 58°,cot37°40\text{'}$;

b) $\sin 32°,cos51°,\sin 39°,cos79°15\text{'},\sin 38°$.

Hướng dẫn giải

Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia

a) $cot61°=\tan 29°,cot79°15\text{'}=\tan 10°45\text{'},cot37°40\text{'}=\tan 52°20\text{'}$

$\Rightarrow \tan 58°,\tan 52°20\text{'},\tan 29°,\tan 28°,\tan 12°,\tan 10°45\text{'}$

Hay $\tan 58°,cot37°40\text{'},cot61°,\tan 28°,\tan 12°,cot79°15\text{'}$

b)$cos51°=\sin 39°,\cos 79°15\text{'}=\sin 10°45\text{'}$

$\Rightarrow \sin 39°,\sin 39°,\sin 38°,\sin 32°,\sin 10°45\text{'}$

Hay $cos51°,\sin 39°,\sin 38°,\sin 32°,cos79°15\text{'}$ 

Bài 4. Hãy tính biểu thức A = sin²5° + sin²25° + sin²45° + sin²65° + sin²85°và so sánh A với 1.

Hướng dẫn giải

Tính biểu thức A:

A = sin²5° + sin²25° + sin²45° + sin²65° + sin²85°

A = (sin²5° + sin²85°) + (sin²25° + sin²65°) + sin²45°

A = sin²90° + sin²90° + sin²45°

A = ${\left(1\right)}^2+{\left(1\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Ta thấy A có giá trị bằng $\frac{5}{2}>1$ do đó A > 1.

Bài 5. Không dùng bảng số và máy tính, so sánh:

a) sin20° và sin70°                                         b) cos60° và cos70°

c) tan73°20’ và tan45°                                                      d) cot23° và cot37°40’

Hướng dẫn giải:

a) sin20° < sin70°                                           b) cos60° > cos70°

c) tan73°20’ > tan45°                                                        d) cot23° > cot37°40’

Bài 6. Hãy so sánh A = cos²52° sin45° + sin²52°cos45° với 1.

Bài 7. Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến bé (không dụng máy tính)

a) tan42°,cot71°,tan38°,cot69°15',tan28°;

b) sin56°,cos67°,sin74°,cos63°41',cos85°.

Bài 8. Hãy so sánh:

a) sin40° và sin70°                                         b) cos80° và cos50°

c) tan73°20’ và tan65°                                                      d) cot53° và cot37°20’

Bài 9. Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ giảm dần (không dụng máy tính)

a) tan56°32',cot67°18',tan32°48',cot29°15',tan80°;

b) sin24°,cos70°36',sin57°,cos63°41',cos85°,sin43°;

c) sin35°, cot45°, tan55°, cos65°.

Bài 10. Hãy tính.

a) A = cos²20° + cos²30° + cos²40° + cos²50° + cos²60° + cos²70° + cos²90°;

b) B = sin45°cos²47° + sin²47°cos45°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

• Giải tam giác vuông biết độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn
• Giải tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh cực hay
• Cách giải tam giác nhọn dựa vào các hệ thức trong tam giác vuông
• Cách tính cạnh và tính góc trong tam giác vuông cực hay
• Cách tính độ dài cạnh góc vuông trong tam giác vuông cực hay

---