Nguyên hàm của hàm số lũy thừa lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Nguyên hàm của hàm số lũy thừa lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nguyên hàm của hàm số lũy thừa.

1. Phương pháp giải

Công thức thường dùng

$\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C\left(\alpha \ne -1\right)$.

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \left|x\right|+C$.

$\int 1dx=x+C$.

$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x), biết

a) $f\left(x\right)=x^2+\frac{3}{x}$;

b) $f\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\int \left(x^2+\frac{3}{x}\right)dx=\frac{x^3}{3}+3\ln \left|x\right|+C$.

b) $\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\ln \left|x\right|+\frac{1}{x}+C$.

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x), biết

a) f(x) = 2x(1 + 3x³);

b) $f\left(x\right)=3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\int 2x\left(1+3x^3\right)dx=\int \left(2x+6x^4\right)dx=x^2+\frac{6x^5}{5}+C$.

b) $\int \left(3\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx=\int \left(3x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{3}}\right)=2x^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}}+C$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. $\int x^{2}dx$ bằng

A. 2x + C;

B. $\frac{1}{3}{x}^3+C$;

C. x³ + C;

D. 3x³ + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$.

Bài 2. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 1 là

A. 6x + C;

B. $\frac{1}{3}{x}^3+x+C$;

C. x³ + C;

D. x³ + x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\int \left(3x^2+1\right)dx=x^3+x+C$.

Bài 3. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ + x là

A. 3x² + 1 + C;

B. $\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+C$;

C. x³ + x + C;

D. x⁴ + x² + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\int \left(x^3+x^2\right)dx=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}{x}^2+C$.

Bài 4. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 5x⁴ – 8x³ – 6x là

A. F(x) = x⁵ – 2x⁴ – 3x² + C;

B. F(x) = x⁵ – x⁴ – x² + C;

C. F(x) = x⁵ – 4x⁴ – 2x² + C;

D. F(x) = x⁵ + 2x⁴ – 3x² + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $F\left(x\right)=\int \left(5x^4-8x^3-6x\right)dx$ = $x^5-2x^4-3x^2+C$.

Bài 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = (x + 1)(x + 2).

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+2x+C$;

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{3}{x}^2+2x+C$;

C. F(x) = 2x + 3 + C;

D. $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{2}{3}{x}^2+2x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\int \left(x+1\right)\left(x+2\right)dx=\int \left(x^2+3x+2\right)dx=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2+2x+C$.

Bài 6. Hàm số $F\left(x\right)=\sqrt[3]{x}+2\sqrt{x}+x\sqrt{x}$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A. $f_1\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{2}\sqrt{x}$;

B. $f_2\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{2\sqrt{x}}$;

C. $f_3\left(x\right)=\frac{\sqrt[3]{x^2}}{3}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{2}\sqrt{x}$;

D. $f_4\left(x\right)=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{3}{2\sqrt{x}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$F^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\sqrt[3]{x}+2\sqrt{x}+x\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Bài 7. Nguyên hàm của $\int \frac{1}{x+2}dx$ là

A. −ln|x + 2| + C;

B. ln|x + 2| + C;

C. (x + 2) + C;

D. $\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\int \frac{1}{x+2}dx=\ln \left|x+2\right|+C$.

Bài 8. Nguyên hàm của $\int \frac{1}{3x+1}dx$ là

A. $-\frac{1}{3}\ln \left|3x+1\right|+C$;

B. $\frac{1}{3}\ln \left|3x+1\right|+C$;

C. $\frac{1}{3}\ln \left|3x-1\right|+C$;

D. $-\frac{1}{3}{\left(3x+1\right)}^{\frac{2}{3}}+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\int \frac{1}{3x+1}dx=\frac{1}{3}\ln \left|3x+1\right|+C$.

Bài 9. Nguyên hàm của $\int \left(x^2-3x+\frac{1}{x}\right)dx$ là

A. $\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C$;

B. $\frac{x^3}{2}-\frac{2}{3}{x}^2+\ln \left|x\right|+C$;

C. $\frac{x^3}{2}-\frac{C}{3}{x}^2+\ln \left|x\right|$;

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{C}{3}{x}^2+\ln \left|x\right|$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\int \left(x^2-3x+\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C$.

Bài 10. Nguyên hàm của $\int \frac{2x^4+3}{x^2}dx$ là

A. $\frac{2x^3}{3}-\frac{3}{x}+C$;

B. $\frac{2x^3}{3}+\frac{3}{x}+C$;

C. $2x^3+\frac{3}{x}+C$;

D. $2x^3+\frac{3}{x^2}+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\int \frac{2x^4+3}{x^2}dx=\int \left(2x^2+\frac{3}{x^2}\right)dx=\frac{2}{3}{x}^3-\frac{3}{x}+C$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Nguyên hàm của hàm số lượng giác
• Nguyên hàm của hàm số mũ
• Nguyên hàm có điều kiện
• Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế
• Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân

---