Nguyên hàm của hàm số lượng giác lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Nguyên hàm của hàm số lượng giác lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nguyên hàm của hàm số lượng giác.

1. Phương pháp giải

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

$\int \cos xdx=\sin x+C$;

$\int \sin xdx=-\cos x+C$;

$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$;

$\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x), biết

a) f(x) = 4x + 3cosx;

b) f(x) = sin3x.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\int \left(4x+3\cos x\right)dx$ = $\frac{4x^2}{2}+3\sin x+C=2x^2+3\sin x+C$.

b) $\int \sin 3xdx=-\frac{1}{3}\cos 3x+C$.

Ví dụ 2. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x), biết

a) $f\left(x\right)={\cos }^2\frac{x}{2}$;

b) $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ trên (0; π).

Hướng dẫn giải:

a) $\int {\cos }^2\frac{x}{2}dx=\int \frac{1+\cos x}{2}dx$ = $\frac{1}{2}\int \left(1+\cos x\right)dx=\frac{1}{2}\left(x+\sin x\right)+C$.

b) Có $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$ trên (0; π).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số f(x) = 1 + sinx. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int f\left(x\right)dx=x-\cos x+C$;

B. $\int f\left(x\right)dx=x+\sin x+C$;

C. $\int f\left(x\right)dx=x+\cos x+C$;

D. $\int f\left(x\right)dx=\cos x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(1+\sin x\right)dx=x-\cos x+C$

Bài 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int f\left(x\right)dx=x+\tan x+C$;

B. $\int f\left(x\right)dx=x+\cot x+C$;

C. $\int f\left(x\right)dx=x-\tan x+C$;

D. $\int f\left(x\right)dx=x-\cot x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(1-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx=x-\tan x+C$.

Bài 3. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx + 6x là

A. sinx + 3x² + C;

B. −sinx + 3x² + C;

C. sinx + 6x² + C;

D. −sinx + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\int f\left(x\right)dx=\int \left(\cos x+6x\right)dx=\sin x+3x^2+C$.

Bài 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx + 3x.

A. $\int \left(2\sin x+3x\right)dx=-2\cos x+\frac{3}{2}{x}^2+C$;

B. $\int \left(2\sin x+3x\right)dx=2\cos x+3x^2+C$;

C. $\int \left(2\sin x+3x\right)dx={\sin }^{2}x+\frac{3}{2}x+C$;

D. $\int \left(2\sin x+3x\right)dx=\sin 2x+\frac{3}{2}{x}^2+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\int \left(2\sin x+3x\right)dx=-2\cos x+\frac{3}{2}{x}^2+C$.

Bài 5. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\sin x$ là

A. lnx – cosx + C;

B. $-\frac{1}{x^2}-\cos x+C$;

C. ln|x| + cosx + C;

D. ln|x| − cosx + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int f\left(x\right)dx=\int \left(\frac{1}{x}+\sin x\right)dx=\ln \left|x\right|-\cos x+C$.

Bài 6. Cho hàm số $f\left(x\right)=\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int \cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}\sin x+C$;

B. $\int \cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}\cos x+C$;

C. $\int \cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx=-\frac{1}{2}\sin x+C$;

D. $\int \cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx=-\frac{1}{2}\cos x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\int \cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx=\frac{1}{2}\int \sin xdx=-\frac{1}{2}\cos x+C$.

Bài 7. Cho hàm số $f\left(x\right)=3\cos x-\frac{2}{x}+\frac{4}{{\sin }^{2}x}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\int f\left(x\right)dx=3\sin x-2\ln \left|x\right|-4\cot x+C$;

B. $\int f\left(x\right)dx=3\sin x-2\ln x-4\cot x+C$;

C. $\int f\left(x\right)dx=3\sin x-2\ln x+4\cot x+C$;

D. $\int f\left(x\right)dx=-3\sin x-2\ln x-4\cot x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(3\cos x-\frac{2}{x}+\frac{4}{{\sin }^{2}x}\right)dx=3\sin x-2\ln \left|x\right|-4\cot x+C$.

Bài 8. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx + cosx là

A. F(x) = sinx + cosx + C;

B. F(x) = sinx – cosx + C;

C. F(x) = −sinx + cosx + C;

D. F(x) = −sinx – cosx + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int f\left(x\right)dx=\int \left(\sin x+\cos x\right)dx=-\cos x+\sin x+C$.

Bài 9. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4sin²x là

A. $\int f\left(x\right)dx=\frac{4{\sin }^{3}x}{3}+C$;

B. $\int f\left(x\right)dx=2x-\sin 2x+C$;

C. $\int f\left(x\right)dx=\frac{\cos 2x}{2}+C$;

D. $\int f\left(x\right)dx=2x-2\sin 2x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\int f\left(x\right)dx=\int 4{\sin }^{2}xdx=\int \left(2-2\cos 2x\right)=2x-\sin 2x+C$.

Bài 10. Cho hàm số f(x) = 2cos[2(x + π)] – 3x². Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $\int f\left(x\right)dx=2\sin \left[2\left(x+\pi \right)\right]-x^3+C$;

B. $\int f\left(x\right)dx=\sin 2x-x^3+C$;

C. $\int f\left(x\right)dx=-\sin \left[2\left(x+\pi \right)\right]-x^3+C$;

D. $\int f\left(x\right)dx=-4\sin \left[2\left(x+\pi \right)\right]-6x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có

$\int f\left(x\right)dx=\int \left[2\cos \left[2\left(x+\pi \right)\right]-3x^2\right]dx$

= $\int \left[2\cos \left(2x+2\pi \right)-3x^2\right]dx$

= $\int \left(2\cos 2x-3x^2\right)dx=\sin 2x-x^3+C$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Nguyên hàm của hàm số mũ
• Nguyên hàm có điều kiện
• Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế
• Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân
• Tích phân của các hàm số cơ bản

---