Nguyên hàm của hàm số mũ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Nguyên hàm của hàm số mũ lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nguyên hàm của hàm số mũ.

1. Phương pháp giải

Nguyên hàm của hàm số mũ

$\int e^{x}dx=e^x+C$.

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\left(0<a\ne 1\right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) f(x) = e^{2x – 1};

b) f(x) = 3^−x.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\int e^{2x-1}dx=e^{-1}\int {\left(e^2\right)}^{x}dx=e^{-1}.\frac{{\left(e^2\right)}^x}{\ln e^2}+C=\frac{e^{2x-1}}{2}+C$.

b) $\int 3^{-x}dx=\int {\left(3^{-1}\right)}^{x}dx=-\frac{3^{-x}}{\ln 3}+C$.

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

a) f(x) = 8^x.2^{1 – 2x};

b) $f\left(x\right)=\left({2.3}^x-\frac{1}{3}{.7}^x\right)$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có f(x) = 8^x.2^{1 – 2x} = 2^3x.2^{1 – 2x} = 2^{x + 1}.

Do đó $\int f\left(x\right)dx=\int 2^{x+1}dx=\frac{2^{x+1}}{\ln 2}+C$.

b) $\int f\left(x\right)dx=\int \left({2.3}^x-\frac{1}{3}{.7}^x\right)dx$ = $2\int 3^{x}dx-\frac{1}{3}\int 7^{x}dx$ = $2.\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{7^x}{3\ln 7}+C$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e^3x là

A. 3e^x + C;

B. $\frac{1}{3}{e}^{3x}+C$;

C. $\frac{1}{3}{e}^x=C$;

D. 3e^3x + C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}{e}^{3x}+C$.

Bài 2. Cho hàm số f(x) = e^x + 2. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. $\int f\left(x\right)dx=e^{x-2}+C$;

B. $\int f\left(x\right)dx=e^x+2x+C$;

C. $\int f\left(x\right)dx=e^x+C$;

D. $\int f\left(x\right)dx=e^x-2x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(e^x+2\right)dx=e^x+2x+C$.

Bài 3. Nguyên hàm của hàm số y = 2^x là

A. $\int 2^{x}dx=\ln {2.2}^x+C$;

B. $\int 2^{x}dx=2^x+C$;

C. $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$;

D. $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{x+1}+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$.

Bài 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3^x + 2x.

A. $\int \left(3^x+2x\right)dx=\frac{3^x}{\ln 3}+x^2+C$;

B. $\int \left(3^x+2x\right)dx=3^x.\ln 3+x^2+C$;

C. $\int \left(3^x+2x\right)dx=\frac{3^x}{\ln 3}+x+C$;

D. $\int \left(3^x+2x\right)dx=3^x.\ln 3+x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\int \left(3^x+2x\right)dx=\frac{3^x}{\ln 3}+x^2+C$.

Bài 5. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = e^x(2e^2x – 3) là

A. $\int f\left(x\right)dx=\frac{2e^{3x}}{3}-3e^x+C$;

B. $\int f\left(x\right)dx=\frac{2e^{3x}}{3}+3e^x+C$;

C. $\int f\left(x\right)dx=e^x\left(e^{2x}-3\right)+C$;

D. $\int f\left(x\right)dx=\frac{e^{3x}}{3}+3e^x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(2e^{3x}-3e^x\right)dx=\frac{2e^{3x}}{3}-3e^x+C$.

Bài 6. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4^x + cos2x là

A. $\int f\left(x\right)dx=\frac{4^x}{\ln 4}-\frac{\sin 2x}{2}+C$;

B. $\int f\left(x\right)dx=4^x\ln 4+\frac{\sin 2x}{2}+C$;

C. $\int f\left(x\right)dx=4^x\ln 4-\frac{\sin 2x}{2}+C$;

D. $\int f\left(x\right)dx=\frac{4^x}{\ln 4}+\frac{\sin 2x}{2}+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\int f\left(x\right)dx=\int \left(4^x+\cos 2x\right)dx=\frac{4^x}{\ln 4}+\frac{\sin 2x}{2}+C$.

Bài 7. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{-x}\left(2+\frac{e^x}{{\cos }^{2}x}\right)$.

A. $F\left(x\right)=-\frac{2}{e^x}+\tan x+C$;

B. $F\left(x\right)=2e^x-\tan x+C$;

C. $F\left(x\right)=-\frac{2}{e^x}-\tan x+C$;

D. $F\left(x\right)=2e^{-x}+\tan x+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $F\left(x\right)=\int e^{-x}\left(2+\frac{e^x}{{\cos }^{2}x}\right)dx=\int \left(2e^{-x}+\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx$

= $-2e^{-x}+\tan x+C=-\frac{2}{e^x}+\tan x+C$.

Bài 8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y=x^2-3^x+\frac{1}{x}$.

A. $\frac{x^3}{3}-\frac{3^x}{\ln 3}-\frac{1}{x^2}+C$;

B. $\frac{x^3}{3}-3^x+\frac{1}{x^2}+C$;

C. $\frac{x^3}{3}-\frac{3^x}{\ln 3}+\ln \left|x\right|+C$;

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3^x}{\ln 3}-\ln \left|x\right|+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\int \left(x^2-3^x+\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3^x}{\ln 3}+\ln \left|x\right|+C$.

Bài 9. $\int \left(e^x+e^{-2x}\right)dx$ bằng

A. e^x - 2e^-2x + C;

B. e^x + 2e^-2x + C;

C. $e^x-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C$;

D. $\frac{e^{x+1}}{x+1}+\frac{e^{-2x+1}}{-2x+1}+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\int \left(e^x+e^{-2x}\right)dx=e^x-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C$.

Bài 10. $\int \left(x+e^{2020x}\right)dx$ bằng

A. $x^2+\frac{e^{2020x}}{2020}+C$;

B. $x^3+\frac{e^{2020x}}{2020}+C$;

C. $\frac{x^2}{2}+\frac{e^{2020x}}{2020}+C$;

D. $x+\frac{e^{2020x}}{2020}+C$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\int \left(x+e^{2020x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+\frac{e^{2020x}}{2020}+C$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Nguyên hàm có điều kiện
• Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế
• Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân
• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

---