Nguyên hàm có điều kiện lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Nguyên hàm có điều kiện lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nguyên hàm có điều kiện.

1. Phương pháp giải

Bài toán: Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(a) = b.

+) Tìm họ nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm, tính chất,…

+) Dựa vào điều kiện của giả thiết để tìm C.

+) Kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số f'(x) = 3x². Tìm nguyên hàm f(x) của f'(x) thỏa mãn f(0) = 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có $f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int 3x^{2}dx=x^3+C$.

Mà f(0) = 1 ⇒ C = 1. Vậy f(x) = x³ + C.

Ví dụ 2. Cho F(x) là một nguyên hàm của $f\left(x\right)=\frac{1}{2x-1},x\ne \frac{1}{2}$ và F(1) = 0. Tính F(5).

Hướng dẫn giải:

Ta có $F\left(x\right)=\int \frac{1}{2x-1}dx=\frac{1}{2}\ln \left|2x-1\right|+C$.

Mà F(1) = 0 ⇔ $\frac{1}{2}\ln \left|2.1-1\right|+C=0$ ⇔ C = 0

=> $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|2x-1\right|$. Vậy $F\left(5\right)=\frac{1}{2}\ln \left|2.5-1\right|=\ln 3$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=2x+3\sqrt{x}$ thỏa mãn F(1) = 0.

A. $F\left(x\right)=x^2+3\sqrt{x^3}$;

B. $F\left(x\right)=x^2+2\sqrt[3]{x^2}$;

C. $F\left(x\right)=x^2+3\sqrt[3]{x^2}-4$;

D. $F\left(x\right)=x^2+2\sqrt{x^3}-3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\int \left(2x+3\sqrt{x}\right)dx=x^2+2x\sqrt{x}+C$ mà F(1) = 0 => C = −3.

Vậy $\int \left(2x+3\sqrt{x}\right)dx=x^2+2\sqrt{x^3}-3$.

Bài 2. Cho hàm số f(x) = 2x + e^x. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thỏa mãn F(0) = 2024.

A. F(x) = x² + e^x + 2023;

B. F(x) = x² + e^x - 2023;

C. F(x) = x² + e^x + 2022;

D. F(x) = x² + e^x - 2024.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $F\left(x\right)=\int \left(2x+e^x\right)dx=x^2+e^x+C$.

Mà F(0) = 2024 => C = 2023 => F(x) = x² + e^x + 2023.

Bài 3. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^2x và F(0) = 0. Giá trị của F(ln3) bằng

A. 2;

B. 6;

C. 8;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $F\left(x\right)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$;

Mà F(0) = 0 => $C=-\frac{1}{2}$. Do đó $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{2x}-\frac{1}{2}$.

Khi đó $F\left(\ln 3\right)=\frac{1}{2}{e}^{2\ln 3}-\frac{1}{2}=4$.

Bài 4. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sinx + cosx thỏa mãn $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=2$.

A. F(x) = −cosx + sinx + 3;

B. F(x) = −cosx + sinx −1;

C. F(x) = −cosx + sinx + 1;

D. F(x) = cosx – sinx + 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có F(x) = $\int f\left(x\right)dx=\int \left(\sin x+\cos x\right)dx$ = -cos x + sin x + C.

Do $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}+C=2$ => C = 1.

Do đó F(x) = −cosx + sinx + 1.

Bài 5. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x), với $f\left(x\right)=\frac{x{\left(x-3\right)}^2}{x^2}$, biết $F\left(1\right)=\frac{5}{2}$. Tính F(2).

A. F(2) = 2 + 9ln2;

B. F(2) = −2 + 9ln2;

C. F(2) = 1 + 9ln2;

D. F(2) = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có F(x) = $\int \frac{x{\left(x-3\right)}^2}{x^2}$ = $\int \left(x-6+\frac{9}{x}\right)dx$ = $\frac{x^2}{2}-6x+9\ln \left|x\right|+C$.

Vì F(1) = $\frac{5}{2}$ => $\frac{1}{2}-6+C=\frac{5}{2}$ => C = 8.

Do đó F(x) = $\frac{x^2}{2}-6x+9\ln \left|x\right|+8$. Vậy F(2) = −2 + 9ln2.

Bài 6. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f'(x) = 12x² + 2, ∀x ∈ ℝ và f(1) = 3. Biết F(x) là nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(0) = 2. Khi đó F(1) bằng

A. −3;

B. 1;

C. 2;

D. 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có $f\left(x\right)=\int \left(12x^2+2\right)dx=4x^3+2x+C_1$.

Mà f(1) = 3 nên C₁ = −3 => f(x) = 4x³ + 2x – 3.

Có $F\left(x\right)=\int \left(4x^3+2x-3\right)dx=x^4+x^2-3x+C$.

Lại có F(0) = 2 => C = 2 => F(x) = x⁴ + x² – 3x + 2.

Khi đó F(1) = 1⁴ + 1² – 3.1 + 2 = 1.

Bài 7. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x) = 3 – 5sinx và f(0) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f(x) = 3x – 5cosx + 15;

B. f(x) = 3x – 5cosx + 2;

C. f(x) = 3x + 5cosx + 5;

D. f(x) = 3x + 5cosx + 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $f\left(x\right)=\int \left(3-5\sin x\right)dx=3x+5\cos x+C$.

Theo giả thiết f(0) = 10 nên 5 + C = 10 => C = 5.

Vậy f(x) = 3x + 5cosx + 5.

Bài 8. Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ và f'(x) = 2e^2x + 1, ∀x, f(0) = 2. Hàm f(x) là

A. f(x) = 2e^x + 2x;

B. f(x) = 2e^x + 2;

C. f(x) = 2e^2x + x + 2;

D. f(x) = e^2x + x + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có f(x) = $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \left(2e^{2x}+1\right)dx$ = e^2x + x + C.

Mà f(0) = 2 nên 1 + C = 2 => C = 1

Vậy f(x) = e^2x + x + 1.

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm là f'(x) = e^x + 2x + 1, ∀x ∈ ℝ và f(0) = 1. Biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn F(1) = e. Tính F(0).

A. $\frac{5}{6}$;

B. $-\frac{1}{6}$;

C. $\frac{1}{6}$;

D. $-\frac{5}{6}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có $f\left(x\right)=\int \left(e^x+2x+1\right)dx$ = e^x + x² + x + C.

Vì f(0) = 1 nên C = 0. Suy ra f(x) = e^x + x² + x.

Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) nên F(x) = $\int \left(e^x+x^2+x\right)dx$ = $e^x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+C_1$.

Lại có F(1) = e => C = $-\frac{5}{6}$. Do đó F(x) = $e^x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{6}$.

Khi đó F(0) = $e^0-\frac{5}{6}=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$.

Bài 10. Cho hàm số f(x) có đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{2x-3}{x-2}$, ∀x ∈ ℝ\{2} thỏa mãn f(1) = 1 và f(3) = 2. Giá trị của biểu thức f(0) + 2f(4) bằng

A. 3;

B. 5;

C. 7 + 3ln2;

D. −5 + 7ln2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có f(x) = $\int f^{\text{'}}\left(x\right)dx=\int \frac{2x-3}{x-2}dx$ = $\int \left(2+\frac{1}{x-2}\right)dx$ = 2x + ln |x - 2| + C.

Có f(1) = 1 => 2 + ln1 + C₁ = 1 => C₁ = −1.

f(3) = 2 => 6 + ln1 + C₂ = 2 => C₂ = −4.

Vậy f(x) = $\left\{\begin{array}{l}2x+\ln \left(x-2\right)-4khix>2\\ 2x+\ln \left(2-x\right)-1khix<2\end{array}\right.$.

Do đó f(0) + 2f(4) = ln2 – 1 + 2(4 + ln2) = 7 + 3ln2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng nguyên hàm vào giải bài toán thực tế
• Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân
• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức

---