Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Áp dụng định nghĩa và tính chất tích phân.

1. Phương pháp giải

• Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

• Tính chất tích phân

1) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số);

2) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

3) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

4) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (a < c < b).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=5$ và $\underset{0}{\overset{3}{\int }}g\left(x\right)dx=2$. Tính

a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$;

b) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[2f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right]dx$.

Hướng dẫn giải:

a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{3}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 5 + 2 = 7.

b) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[2f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right]dx$ = $2\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx-3\underset{0}{\overset{3}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 2.5 – 3.2 = 4.

Ví dụ 2. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3^x trên ℝ thỏa mãn F(0) = 0. Tính F(1).

Hướng dẫn giải:

Ta có $F\left(1\right)-F\left(0\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{3}^{x}dx$ = ${\left.\frac{3^x}{\ln 3}\right|}_0^1=\frac{3}{\ln 3}-\frac{1}{\ln 3}=\frac{2}{\ln 3}$.

Suy ra $F\left(1\right)=\frac{2}{\ln 3}+F\left(0\right)=\frac{2}{\ln 3}+0=\frac{2}{\ln 3}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)dx=-2$. Giá trị $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$.

A. 1;

B. 5;

C. −1;

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}g\left(x\right)dx$ = 3 – 2 = 1.

Bài 2. Cho $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]dx=1$. Khi đó $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

A. 1;

B. 3;

C. −1;

D. −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[4f\left(x\right)-2x\right]dx=1$ ⇔ $4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-2\underset{1}{\overset{2}{\int }}xdx=1$ ⇔ $4\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx-3=1$ ⇔ $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=1$.

Bài 3. Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên ℝ thỏa mãn f(0) = −2023, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=2024$ thì

A. f(1) = 4047;

B. f(1) = −1;

C. f(1) = 1;

D. f(1) = −4047.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx=2024$ ⇔ ${\left.f\left(x\right)\right|}_0^1=2024$ ⇔ f(1) - f(0) = 2024

⇔ f(1) = 2024 + f(0) = 2024 - 2023 = 1.

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Chọn mệnh đề sai.

A. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$;

B. $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=1$;

C. $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0$;

D. $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0$ nên đáp án B sai.

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) và f'(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. Chọn mệnh đề đúng.

A. $f\left(b\right)-f\left(a\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$;

B. $F\left(b\right)-F\left(a\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$;

C. $f\left(b\right)-f\left(a\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}F\left(x\right)dx$;

D. $f^{\text{'}}\left(b\right)-f^{\text{'}}\left(a\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $f\left(b\right)-f\left(a\right)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$.

Bài 6. Biết F(x) = x² là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ. Giá trị của $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[2+f\left(x\right)\right]dx$ bằng

A. 3;

B. 5;

C. $\frac{13}{3}$;

D. $\frac{7}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[2+f\left(x\right)\right]dx={\left.\left(2x+x^2\right)\right|}_1^2$ = 8 - 3 = 5.

Bài 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [−6; 11] và thỏa mãn $\underset{-6}{\overset{11}{\int }}f\left(x\right)dx=8,\underset{2}{\overset{6}{\int }}f\left(x\right)dx=3$. Giá trị của biểu thức $P=\underset{-6}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{6}{\overset{11}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

A. 4;

B. 11;

C. 5;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{-6}{\overset{11}{\int }}f\left(x\right)dx=8$ ⇔ $\underset{-6}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{6}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{6}{\overset{11}{\int }}f\left(x\right)dx=8$

⇔ $\underset{-6}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+3+\underset{6}{\overset{11}{\int }}f\left(x\right)dx=8$ ⇔ $\underset{-6}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{6}{\overset{11}{\int }}f\left(x\right)dx=5$.

Bài 8. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ. Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên ℝ thỏa mãn F(2) – F(0) = 5. Khi đó $\underset{0}{\overset{2}{\int }}3f\left(x\right)dx$ bằng

A. 6;

B. 15;

C. 10;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}3f\left(x\right)dx$ = $3\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ = 3(F(2) - F(0)) = 3.5 = 15.

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\mathrm{10,}\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=1$. Khi đó $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

A. 9;

B. 10;

C. 11;

D. −9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=10-1=9$.

Bài 10. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f(1) = 1 và f(2) = 2. Giá trị $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx$ bằng

A. 1;

B. −1;

C. 3;

D. $\frac{7}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}{f}^{\text{'}}\left(x\right)dx={\left.f\left(x\right)\right|}_1^2$ = f(2) - f(1) = 1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức
• Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế
• Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

---