Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

1. Phương pháp giải

• Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b), được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

• Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b, được tính bằng công thức $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³ + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1.

Hướng dẫn giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là S = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^3+1\right|dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^3+1\right)dx$ = ${\left.\left(\frac{x^4}{4}+x\right)\right|}_0^1=\frac{5}{4}$.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y = x⁴ – 4x² + 4, y = x², đường thẳng x = 0; x = 1.

Hướng dẫn giải:

Diện tích hình phẳng cần tìm là S = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^4-4x^2+4-x^2\right|dx$ = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^4-5x^2+4\right|dx$.

Vì x⁴ – 5x² + 4 = (x² −1)(x² – 4) ≥ 0, ∀x ∈ [0; 1]

Nên S = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^4-5x^2+4\right)dx$ = ${\left.\left(\frac{x^5}{5}-\frac{5x^3}{3}+4x\right)\right|}_0^1=\frac{1}{5}-\frac{5}{3}+4=\frac{38}{15}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = −2 và x = 3 (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$;

B. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$;

C. $S=-\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$;

D. $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có S = $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ = $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Bài 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x – 2)² – 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 2 bằng

A. $\frac{1}{3}$;

B. $\frac{2}{3}$;

C. $\frac{3}{2}$;

D. $\frac{7}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có S = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|{\left(x-2\right)}^2-1\right|dx$ = $-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-4x+3\right)dx$ = $-{\left.\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right)\right|}_1^2=\frac{2}{3}$.

Bài 3. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x² + 1; x = −1; x = 2 và trục hoành.

A. S = 16;

B. S = 6;

C. S = $\frac{13}{6}$;

D. S = 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có S = $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2+1\right|dx=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+1\right)dx=6$.

Bài 4. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x²; y = −1; x = 0 và x = 1 được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $S=\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2x^2+1\right)dx$;

B. $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2x^2-1\right)dx$;

C. $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(2x^2+1\right)}^{2}dx$;

D. $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2x^2+1\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có S = $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|2x^2+1\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2x^2+1\right)dx$. (vì 2x² + 1 > 0, ∀x ∈ [0; 1]).

Bài 5. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{2}{x+1}$; y = 0; x = 1 và x = 3 là

A. S = ln8;

B. S = ln4;

C. S = 2ln4;

D. S = ln2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|\frac{2}{x+1}\right|dx$ = $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{2}{x+1}dx$ = ${\left.2\ln \left|x+1\right|\right|}_1^3$ = 2 ln4 - 2 ln2 = 2 ln2 = ln4.

Bài 6. Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường thẳng y = x² – x, y = 0, x = 0, x = 2 được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x-x^2\right)dx$;

B. $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-x^2\right)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-x\right)dx$;

C. $S=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-x\right)dx$;

D. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-x\right)dx$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có S = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-x\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx$ = $-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-x\right)dx$.

Bài 7. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 4 + 2x – x², y = x², x = −1, x = 2 có diện tích là

A. 9;

B. 12;

C. 15;

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|4+2x-x^2-x^2\right|dx$ = $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(4+2x-2x^2\right)dx$ = ${\left.\left(4x+x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\right|}_{-1}^2=9$.

Bài 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = x³ – x và y = 2x² – x bằng

A. $\frac{5}{6}$;

B. $\frac{1}{2}$;

C. $\frac{4}{3}$;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình x³ – x = 2x² – x ⇔ x³ – 2x² = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|\left(x^3-x\right)-\left(2x^2-x\right)\right|dx$ = $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-2x^2\right|dx=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-2x^2\right)=\frac{4}{3}$.

Bài 9. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x³ + 11x – 6, y = 6x² và hai đường thẳng x = 0, x = 2 là

A. S = 2;

B. S = $\frac{2}{5}$;

C. S = 5;

D. $S=\frac{5}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có x³ + 11x – 6 = 6x² ⇔ x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3.

Ta có

$S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^3-6x^2+11x-6\right|dx$ = $-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-6x^2+11x-6\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-6x^2+11x-6\right)dx$.

Bài 10. Tính diện tích phần kẻ sọc trong hình vẽ

A. S = $\frac{40}{3}$;

B. S = $\frac{16}{3}$;

C. S = $-\frac{32}{3}$;

D. S = $\frac{32}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta có hai hàm số y = x² + x – 2 và y = −x + 1.

Dựa vào đồ thị ta có S = $\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left|\left(x^2+x-2\right)-\left(-x+1\right)\right|dx$ = $\underset{-3}{\overset{1}{\int }}\left(-x^2-2x+3\right)dx=\frac{32}{3}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tích phân của các hàm số cơ bản
• Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức
• Vận dụng tích phân để giải bài toán thực tế
• Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

---