Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương.

1. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ có thể thực hiện theo các bước sau:

•  Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]$.

•  Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$.

2. Ví dụ minh họa về phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 2; 3) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;2;1)$; $\overrightarrow{b}=(0;3;2)$.

Hướng dẫn giải

a) Vì (P) có có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;2;1)$; $\overrightarrow{b}=(0;3;2)$.

 nên (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(1;-2;3)$.

Vì (P) đi qua điểm A(0; 2; 3) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

1(x – 0) – 2(y – 2) + 3(z – 3) = 0 $\iff$ x – 2y + 3z – 5 = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x – 2y + 3z – 5 = 0.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A(2; 3; 4), B(5; 4; 6), C(3; 4; 3), B’(2; 2; 2). Viết phương trình mặt phẳng (A’B’C’).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (A’B’C’) nhận $\overrightarrow{\mathrm{AB}}(3;1;2),\overrightarrow{\mathrm{AC}}(1;1;-1)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}]=(-3;5;2)$.

Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua điểm B’(2; 2; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=(-3;5;2)$ làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

–3(x – 2) + 5(y – 2) + 2(z – 2) = 0 $\iff$ –3x + 5y + 2z – 8 = 0

Vậy phương trình mặt phẳng (A’B’C’) là: –3x + 5y + 2z – 8 = 0.

3. Bài tập tự luyện về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

Bài 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(1;-2;-1)$; $\overrightarrow{b}=(1;5;-1)$.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M(1; 2; 4), N(2; 1; 0) và song song song với trục Ox.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 3; 4), B(2; 5; 6), D(2; –4; 3), C’(2; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

• Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

• Hàm số dưới dấu tích phân là gì

• Bảng dữ liệu thống kê 2 x 2 là gì

• Số phức là gì

• Phần thực của số phức là gì