Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau.

1. Khái niệm điều kiện để hai mặt phẳng song song

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 với hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n\text{'}}=\left(A\text{'};B\text{'};C\text{'}\right)$tương ứng. Khi đó (α) ∥ (β) ⇔ $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n\text{'}}=k\overrightarrow{n}\\ D\text{'}\ne kD\end{array}\right.$với k nào đó.

Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

Hai mặt phẳng (α) và (β) trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số k khác 0 sao cho A’ = kA, B’ = kB, C’ = kC, D’ = kD.

2. Ví dụ minh họa về điều kiện để hai mặt phẳng song song

Ví dụ 1. Mặt phẳng (P): 4x + 3y + z + 5 = 0 song song với mặt phẳng nào sau đây?

a. (Q): 8x + 6y + 2z + 9 = 0.

b. (R): 8x + 6y + 2z + 10 = 0.

c. (S): 4x + 2y + z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Các mặt phẳng (P), (Q), (R), (S) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(4;3;1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(8;6;2\right),\overrightarrow{n_3}=\left(8;6;2\right),\overrightarrow{n_4}=\left(4;2;1\right)$ .

a. Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}=2\overrightarrow{n_1}\\ 9\ne 2.5\end{array}\right.$  nên (P) ∥ (Q).

b. Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_3}=2\overrightarrow{n_1}\\ 10=2.5\end{array}\right.$  nên (P) trùng với (R).

c. Ta có $\frac{4}{4}\ne \frac{3}{2}$ nên hai vec tơ $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_4}$ không cùng phương. Vậy (P) cắt (S).

Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1;2;3) và song song với mặt phẳng (P): 2x + y + z + 12 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: M(1;2;3) không nằm trên (P) vì 2.1 + 2 + 3 + 12 = 19 ≠ 0.

Lại có (Q) ∥ (P) nên (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right)$ . Khi đó (Q) có phương trình tổng quát là: 2x + y + z – 7 = 0.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho (P): x – m²y + 2z + m – 1 = 0, (Q): 2x – 8y + 4z + 1 = 0. Tìm giá trị thực của tham số m sao cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song.

Hướng dẫn giải

Để (P) ∥ (Q) thì $\frac{1}{2}=\frac{-m^2}{-8}=\frac{2}{4}\ne \frac{m-1}{1}\iff \left\{\begin{array}{l}m=\pm 2\\ m\ne \frac{3}{2}\end{array}\right.\iff m=\pm 2$ .

Vậy m = 2 hoặc m = −2.

3. Bài tập về điều kiện để hai mặt phẳng song song

Bài 1. Mặt phẳng (E): 2x – y + 8z + 1 = 0 song song với mặt phẳng nào sau đây?

a. (F): 8x – 4y + 32z + 7 = 0.

b. (H): 6x – 3y + 24z + 3 = 0.

c. (G): 10x – 5y + 41z + 1 = 0.

d. (K): 4x – 2y + 16z +10 = 0.

Bài 2. Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – 3z + 1 = 0 và (Q): 6x – 3y – 9z + 1 = 0. Chứng minh rằng (P) ∥ (Q).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 5y + z + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1;1;1) và song song với (P).

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 5x + 2y – 4z + 6 = 0, (β): 10x + 4y – 2z + 12 = 0.

a. Hai mặt phẳng (α) và (β) có song song với nhau hay không?

b. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;−3;5) và song song với (α).

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 3x – 5y + mz – 3 = 0, (β): 2x + ny – 3z + 1 = 0. Tìm giá trị của tham số m, n để (α) và (β) song song.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng là gì

• Phương trình tham số của đường thẳng là gì

• Phương trình chính tắc của đường thẳng là gì

• Điều kiện hai đường thẳng vuông góc

• Công thức tính góc của hai đường thẳng

---