Công thức tính góc của hai đường thẳng lớp 12 (chi tiết nhất)

Trang trước Trang sau

Bài viết Công thức tính góc của hai đường thẳng lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức tính góc của hai đường thẳng.

1. Công thức tính góc của hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}); \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ được tính bởi công thức: $\cos (d_{1}, d_{2}) = |\cos (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})| = \frac{|{\vec{u}}_{1} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|a_{1} . a_{2} + b_{1} . b_{2} + c_{1} . c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

2. Ví dụ minh họa về công thức tính góc của hai đường thẳng

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z + 1}{2}$ và d₂: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có d₁ và d₂ lần lượt nhận vectơ $\vec{u_{1}} = (1; 2; 1); \vec{u_{2}} = (1; 1; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|1.1 + 2.1 + 1.2|}{\sqrt{6} . \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$ . Suy ra (d₁,d₂)≈ 33°33’.

Ví dụ 2. Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{1}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có d₁ và d₂ lần lượt nhận vectơ $\vec{u_{1}} = (1; 2; 2); \vec{u_{2}} = (- 2; - 2; 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|1. (- 2) + 2. (- 2) + 1.2|}{\sqrt{9} . \sqrt{9}} = \frac{4}{9}$ . Suy ra (d₁,d₂)≈ 63°36’.

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = - 2 - t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 2 + 2 t' \\ y = 3 + 4 t' \\ z = 10 t' \end{cases}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có d₁ và d₂ lần lượt nhận vectơ $\vec{u_{1}} = (1; 2; - 1); \vec{u_{2}} = (2; 4; 10)$ làm vectơ chỉ phương.

Khi đó $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|1.2 + 2.4 + (- 1) .10|}{\sqrt{6} . \sqrt{120}} = 0$ . Suy ra (d₁,d2) = 0°.

3. Bài tập về công thức tính góc của hai đường thẳng

Bài 1. Tính góc giữa hai đường thẳng:

a. d₁: $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{- 1}$ và d₂: $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{9}$ .

b. d₁: $\frac{x - 7}{3} = \frac{y}{5} = \frac{z - 11}{4}$ và d₂: $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 6}{5} = \frac{z - 1}{- 4}$ .

Bài 2. Tính góc giữa hai đường thẳng:

a. d₁: $\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 1}{- 6}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = - 2 + 5 t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{cases}$ .

b. d₁: $\frac{x + 9}{3} = \frac{y + 4}{6} = \frac{z + 1}{6}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 9 - 10 t \\ y = 7 - 10 t \\ z = 15 + 5 t \end{cases}$ .

Bài 3. Tính góc giữa hai đường thẳng:

a. d₁: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \sqrt{3} \\ z = 3 \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 4 - t' \sqrt{3} \\ y = 5 + t' \\ z = 6 \end{cases}$ .

b. d₁: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 + t \\ z = 3 \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t' \\ y = - 2 + 2 t' \\ z = 4 + t' \end{cases}$ .

Bài 4. Cho đường thẳng $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2}$ . Tính côsin của góc giữa đường thẳng ∆ và các trục tọa độ.

Bài 5. Cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(−2;1;−1). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Bài 6. Cho hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = - t \sqrt{2} \\ z = 2 + t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \sqrt{2} \\ z = 2 + m t \end{cases}$ . Tìm giá trị thực của tham số m sao cho góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ bằng 60°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học