Điều kiện hai đường thẳng vuông góc lớp 12 (chi tiết nhất)

Trang trước Trang sau

Bài viết Điều kiện hai đường thẳng vuông góc lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện hai đường thẳng vuông góc.

1. Khái niệm điều kiện hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}, b_{1}, c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}, b_{2}, c_{2})$ .

Khi đó ∆₁ ⊥ ∆₂ khi và chỉ khi $\vec{u_{1}} ⊥ \vec{u_{2}} \Leftrightarrow a_{1} . a_{2} + b_{1} . b_{2} + c_{1} . c_{2} = 0$ .

2. Ví dụ minh họa về điều kiện hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc:

$d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - 3 t \\ z = 2 - t \end{cases}, d_{2} : \{\begin{cases} x = 2 + s \\ y = 1 - 2 s \\ z = 3 + 8 s \end{cases}$ .

Hướng dẫn giải

Các đường thẳng d₁, d₂ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; - 3; - 1), \vec{u_{2}} = (1; - 2; 8)$ . Do đó $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 2.1 + (- 3) . (- 2) + (- 1) .8 = 0$ . Vậy ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a. $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 3}{1}; d' : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = 7 + t \\ z = 9 - 8 t \end{cases}$ .

b. $d : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 3}{1}; d' : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 7}{1} = \frac{z - 9}{1}$ .

Hướng dẫn giải

a. d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{a} = (3; 5; 1); \vec{a'} = (1; 1; - 8)$ .

Ta có $\vec{a} . \vec{a'} = 3 + 5 - 8 = 0$ . Vậy d và d’ vuông góc.

b. d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{a} = (3; 5; 1); \vec{a'} = (2; 1; 1)$ .

Ta có $\vec{a} . \vec{a'} = 6 + 5 + 1 = 12 \neq 0$ . Vậy d và d’ không vuông góc.

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ . Hỏi đường thẳng ∆ có vuông góc với trục Oz hay không?

Hướng dẫn giải

Trục Oz nhận $\vec{u} = (0; 0; 1)$ là vectơ chỉ phương; đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là $\vec{u'} = (2; 1; - 1)$ . Khi đó $\vec{u} . \vec{u'} = 0.2 + 0.1 + 1. (- 1) = - 1 \neq 0$ .

Vậy đường thẳng ∆ không vuông góc với trục Oz.

3. Bài tập về điều kiện hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc:

$d_{1} : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = 0 \end{cases}, d_{2} : \{\begin{cases} x = 1 - 2 s \\ y = 2 s \\ z = 1 \end{cases}$ .

Bài 2. Cho hai đường thẳng d: $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1}$ , d’: $\frac{x}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Chứng minh d ⊥ d’.

Bài 3. Xét vị trí tương đối giữa d: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 20 \\ z = 9 \end{cases}$ và d’: $\{\begin{cases} x = 10 \\ y = 20 \\ z = 1 + 3 t' \end{cases}$ , chúng có vuông góc với nhau không?

Bài 4. Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a. $d : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 3} = \frac{z}{1}; d' : \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = - 6 + 2 t \end{cases}$ .

b. $d : \frac{x + 2}{7} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 1}{1}; d' : \frac{x + 2}{2} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z - 5}{2}$ .

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{2}$ và d’: $\frac{x}{1} = \frac{y + 2}{2 m} = \frac{z}{3}$ . Tìm giá trị thực của tham số m để d ⊥ d’.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học