Bài toán tối ưu hóa là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Bài toán tối ưu hóa là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán tối ưu hóa.

1. Bài toán tối ưu hóa

Quy trình giải bài toán tối ưu hóa:

Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy nhỏ nhất hoặc lớn nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng phương pháp đã biết và kết luận.

2. Ví dụ minh họa về bài toán tối ưu hóa

Ví dụ 1. Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là 600 cm². Sau khi để lề trên và dưới đều là 3 cm, để lề trái và lề phải đều là 2 cm. Phần còn lại của trang sách được in chữ. Kích thước tối ưu của trang sách là bao nhiêu để phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Gọi x (cm) là chiều rộng của trang sách.

Khi đó, chiều dài của trang sách là: $\frac{600}{x}\left(cm\right)$.

Sau khi để lề thì phần in chữ có dạng hình chữ nhật có chiều rộng là x – 4 (cm) và chiều dài là $\frac{600}{x}-6\left(cm\right)$. Do đó, điều kiện của x là 4 < x < 100.

Diện tích phần in chữ trên trang sách là:

$S\left(x\right)=\left(x-4\right)\left(\frac{600}{x}-6\right)=\frac{-6x^2+624x-2400}{x}\left(c{m}^2\right)$.

Xét hàm số $S\left(x\right)=\frac{-6x^2+624x-2400}{x}$ với x $\in$ (4; 100).

Ta có: $S\text{'}\left(x\right)=\frac{-6x^2+2400}{x^2}=0\iff x=\pm 20$

Vì x $\in$ (4; 100) nên x = 20. Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(4;100\right)}{\max }S\left(x\right)=S\left(20\right)=384$.

Do đó, để tối ưu của trang sách thì chiều rộng của trang sách là 20 cm, chiều dài trang sách là $\frac{600}{20}=30$ cm thì diện tích phần in chữ tối ưu.

Ví dụ 2. Một hộ làm nghề dệt vải sản xuất mỗi ngày được x mét vải (1 ≤ x ≤ 15). Tổng chi phí sản xuất x mét vải, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí C(x) = x³ – 3x² – 14x + 150. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 130 nghìn đồng/ mét. Hỏi hộ làm nghề dệt này cần sản xuất mỗi ngày bao nhiêu mét vải để thu được lợi nhuận tối đa? Tính lợi nhuận tối đa đó.

Hướng dẫn giải

Khi bán x mét vải:

+ Số tiền thu được là: B(x) = 130x (nghìn đồng).

+ Lợi nhuận thu được là: L(x) = B(x) – C(x) = –x³ + 3x² + 144x – 150 (nghìn đồng).

Để lợi nhuận thu được là tối đa thì L(x) đạt giá trị lớn nhất, với 1 ≤ x ≤ 15.

Ta có: L’(x) = –3x² + 6x + 144 = 0 $\iff$ x = 8 hoặc x = –6 (loại vì 1 ≤ x ≤ 15).

Ta có bảng biến thiên trên [1; 15]:

Từ bảng biến thiên ta thấy, khi x = 8 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 682.

Như vậy, hộ làm nghề cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 8 mét vải để thu được lợi nhuận tối đa. Lợi nhuận tối đa khi đó là 682 nghìn đồng.

Ví dụ 3. Một nhà sản xuất cần làm những bình đựng nước hình trụ có thể tích 2 lít. Tìm các kích thước của bình nước để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo cm và làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Đổi 2 lít = 2 000 cm³.

Gọi r (cm) là bán kính đáy của hình trụ, h (cm) là chiều cao của hình trụ.

Điều kiện: h, r > 0.

Vì thể tích của hình trụ là 2 000 cm³ nên $\pi$r²h = 2 000, suy ra $h=\frac{2000}{\pi r^2}$ (cm).

Diện tích toàn phần của hình trụ là: f(r) = 2$\pi$r² + 2$\pi$r.$\frac{2000}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{4000}{r}$ (cm²).

Để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất thì f(r) là nhỏ nhất.

Ta có: $f\text{'}\left(r\right)=4\pi r-\frac{4000}{r^2}=\frac{4\pi r^3-4000}{r^2},f\text{'}\left(r\right)=0\iff \pi r^3=1000\iff r=\frac{10}{\sqrt[3]{\pi }}$

Bảng biến thiên:

Khi đó, $h=\frac{2000}{\pi .\frac{{10}^2}{\sqrt[3]{{\pi }^2}}}=\frac{20}{\sqrt[3]{\pi }}\left(cm\right)$.

Vậy cần sản xuất có bình nước hình trụ có bán kính đáy r ≈ 6,8 cm và chiều cao h ≈ 13,7 cm thì chi phí là nhỏ nhất.

3. Bài tập về bài toán tối ưu hóa

Bài 1. Lợi nhuận một xưởng xúc xích thu được từ việc sản xuất 1 mặt hàng được cho bởi công thức P(x) = –x³ + 21x² + 720x – 5 000 (nghìn đồng), trong đó x (kg) là khối lượng sản phẩm sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất tối đa 40 kg sản phẩm trong một tuần. Tính lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất trong một tuần.

Bài 2. Giả sử chi phí cho sản xuất x cuốn sách (gồm: lương cán bộ, nhân viên, giấy in, …) được cho bởi công thức C(x) = 0,001x² – 0,25x + 25 000, trong đó C(x) tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 5 000 đồng.

a) Tính tổng chi phí T(x) xuất bản và phát hành cho x cuốn sách.

b) Tỉ số $M\left(x\right)=\frac{T\left(x\right)}{x}$ được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn sách khi xuất bản x cuốn. Tìm M(x) theo x và tìm số lượng sách cần xuất bản sao cho chi phí trung bình là thấp nhất, biết rằng nhu cầu hiện tại xuất bản không quá 20 000 cuốn. Khi đó, chi phí trung bình cho một cuốn sách là bao nhiêu?

Bài 3. Trong đợt hội chợ Xuân năm 2025, trường A tổ chức cho các lớp bày các gian hàng tại sân trường. Để có thể che nắng, chứa đồ đạc trong quá trình tham gia hoạt động, lớp 11A đã có ý tưởng: Dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 6 m, chiều rộng 9 m, bằng cách gấp đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều dài của tấm bạt, hai mép chiều rộng còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m) (như hình dưới). Tìm x để khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

Bài 4. Bác Lan có một hàng rào thép dài 360 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Tính diện tích thửa ruộng lớn nhất có thể đạt được.

Bài 5. Một chủ của một khu chung cư có 50 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các hộ sẽ có người thuê nếu giá một căn hộ là 6 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm 1 căn hộ bị bỏ trống. Người chủ nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tốc độ thay đổi của một đại lượng là gì

• Vectơ trong không gian là gì

• Hai vectơ cùng phương trong không gian là gì

• Hai vectơ bằng nhau trong không gian là gì

• Tổng của hai vectơ trong không gian

• Quy tắc hình hộp là gì

---