Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm lớp 11 (cách giải + bài tập)

Trang trước Trang sau

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm.

1. Phương pháp giải

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).

- Các bước giải bài toán chứng minh phương trình có nghiệm:

+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = 0.

+ Tìm 2 số a và b sao cho f(a).f(b) < 0 và hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Từ đó suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình x³ + x² + x – 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + x² + x – 1.

Ta thấy f(x) liên tục trên ℝ nên cũng liên tục trên [0;1].

Ta có f(0) = –1; f(1) = 2 nên f(0) . f(1) < 0.

Vậy phương trình có nghiệm (trong khoảng (0;1)).

Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 có nghiệm với mọi giá trị a, b, c.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + ax² + bx + c

f(x) liên tục trên ℝ.

Ta có

• $\lim_{x \to \infty} (x^{3} + a x^{2} + b x + c) = + \infty \Rightarrow \exists x_{1} > 0$ để f(x₁) > 0.

• $\lim_{x \to - \infty} (x^{3} + a x^{2} + b x + c) = - \infty \Rightarrow \exists x_{2} < 0$ để f(x₂) < 0.

Suy ra f(x₁) . f(x₂) < 0, nên phương trình có nghiệm trong khoảng (x₁;x₂).

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị a, b, c.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b) khi

A. f(x) liên tục trên [a;b) và f(a) . f(b) > 0;

B. f(x) liên tục trên [a;b] và f(a) . f(b) < 0;

C. f(x) liên tục trên (a;b] và f(a) . f(b) < 0;

D. f(x) liên tục trên (a;b) và f(a) . f(b) > 0.

Bài 2. Nếu f(x) liên tục trên các đoạn $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ thì

A. f(x) liên tục trên ℝ;

B. f(x) liên tục trên $(- \infty; + \infty)$ ;

C. Chưa thể đưa ra kết luận về tính liên tục của f(x);

D. Tất cả các đáp án đều sai.

Bài 3. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên đoạn (a;b) là

A. Không có nghiệm;

B. Có duy nhất một nghiệm;

C. Có ít nhất một nghiệm;

D. Không thể xác định.

Bài 4. Trong các phương trình dưới đây, phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1) là

A. 3x² ‒ 3x + 6;

B. (x ‒1)⁶ ‒ x⁷ ‒ 3;

C. 3x² ‒ 3x + 7;

D. 3x²⁰²³ – 8x + 4.

Bài 5. Cho phương trình2x⁴ – 5x² + x + 1 = 0. Khẳng định đúng là

A. Phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng (‒1;1);

B. Phương trình đã cho chỉ có một nghiệm trong khoảng (‒2;1);

C. Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0;2);

D. Phương trình đã cho không có nghiệm trong khoảng (‒2;0).

Bài 6. Phương trình x³ – 1000x² + 0,01 có nghiệm trong khoảng

A. (–1;0);

B. (0;1);

C. Cả A và B đều đúng;

D. Cả A và B đều sai.

Bài 7. Phương trình 2x³ – 6x + 3 = 0

A. không có nghiệm trên khoảng (–2;2);

B. có 1 nghiệm trên khoảng (–2;2);

C. có 2 nghiệm trên khoảng (–2;2);

D. có 3 nghiệm trên khoảng (–2;2).

Bài 8. Trong các phương trình sau, phương trình có nghiệm là

A. 2x² + 3x + 7;

B. 3x² + 4x + 10;

C. x² + 3x + 4;

D. 2x² + 6x + 4.

Bài 9. Trong các phương trình sau, phương trình có nghiệm là

A. x³ – 5x² +7 = 0;

B. x⁵ + x – 3 = 0;

C. Cả A và B đều có nghiệm;

D. Cả A và B đều không có nghiệm.

Bài 10. Cho phương trình m(x ‒ 1)(x + 2) + 2x + 1 = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng

A. Phương trình không có nghiệm với mọi m;

B. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m;

C. Tùy vào giá trị của m phương trình sẽ có nghiệm hoặc không có nghiệm;

D. Không có đáp án nào đúng.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học