Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Bài viết Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng.

+ Điều kiện để ba số a; b; c lập thành cấp số cộng là c − b = b − a hay a + c= 2b.

+ Điều kiện để dãy số (un) là cấp số cộng là với ∀n ∈ N* thì: un+1 − un là hằng số ( không phụ thuộc vào n) .

Ví dụ 1: Xác định x để 3 số: 1 − x; x2; 1 + x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của x.    B. x = ±2.

C. x = ±1.    D. x = 0

Hướng dẫn giải:

Ba số: 1 − x; x2; 1 + x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi : Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Chọn C.

Ví dụ 2: Xác định n để ba số 2n - 9; n ;n+ 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?

A. n= 2     B. n= 3

C. n= 4     D. n= 5

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để ba số 2n – 9 ; n và n+ 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng là :

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Chọn B.

Ví dụ 3: Xác định x để 3 số: 1 + 2x; 2x2 − 1; −2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

Ba số 1 + 2x; 2x2 − 1; −2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Chọn B.

Ví dụ 4: Xác định a để 3 số 2-a; 6 + a2 ; 3a + 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của .     B. a= 4

C. a= ±2    D. a= ±√5

Hướng dẫn giải:

Ba số 2 - a; 6 + a2 ; 3a + 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:

6 + a2 − 2 + a = 3a + 2 - 6 - a2

⇔ 2a2 − 2a + 8 = 0 phương trình này vô nghiệm.

=> Không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 250. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65o ; 90o.     B. 75o ; 80o.

C. 60o ; 95o.     D. 60o ; 90o.

Hướng dẫn giải:

Gọi 3 góc của tam giác là u1 = 25; u2 = 25 + d và u3 = 25 + 2d.

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 nên ta có:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Vậy hai góc còn lại của tam giác là 600 và 950

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc Acó số đo nhỏ nhất và bằng 30o. Tìm tổng của góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tứ giác.

A. 180o     B. 150o.

C. 200o.     D. 210o.

Hướng dẫn giải:

Do 4 góc của tứ giác lập thành cấp số cộng và nên các góc còn lại của tứ giác là:

u2 = 30 + d; u3 = 30 + 2d và u4 = 30 + 3d

Do tổng bốn góc của 1 tứ giác là 3600 nên:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Vậy các góc còn lại của tứ giác là: 700; 1100 và 1500

=> Góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tứ giác là 1500 và 300

Chọn A.

Ví dụ 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 .

A. 1,5,6,8    B. 2,4,6,8

C. 1,4,6,9     D. 1,4,7,8

Hướng dẫn giải:

Giả sử bốn số hạng đó là a- 3d; a- d; a+ d; a+ 3d với công sai là d’= 2d. Khi đó, ta có:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

+ Nếu d = 1 thì bốn số cần tìm là: 2; 4; 6; 8

+ Nếu d = −1 thì bốn số cần tìm là: 8; 6; 4; 2

Chọn B.

Chú ý:

* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.

* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai , là chẵn thì gọi công sai rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.

Ví dụ 8: Biết ba số: x2 + 1; x − 2 và 1 − 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi có mấy giá trị nguyên dương của x thỏa mãn?

A. 0    B.1

C.2     D.3

Hướng dẫn giải:

Ta có: x2 + 1; x − 2 ; 1 − 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Vậy có hai giá trị nguyên dương của x thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Ví dụ 9: Xác định a; b để phương trình x3 + ax + b= 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. b = 0; a < 0    B. b = 0; a = 1

C. b = 0; a > 0    D. b > 0; a < 0

Hướng dẫn giải:

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là x1; x2 và x3

*Do 3 số này lập thành cấp số cộng nên x1 + x3 = 2x2 (1)

*Áp dụng hệ thức vi- et cho phương trình bậc 3 ta có:

x1 + x2 + x3 = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2x2 + x2 = 0 ⇔ x2 = 0

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm x = 0.Thay x = 0 vào phương trình đã cho ta được: 03 + a . 0 + b = 0 ⇔ b = 0.

* Với b = 0 phương trình đã cho trở thành: x3 + ax = 0

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Do đó; để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi: a < 0.

Vậy điều kiện để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là:

b = 0 và a < 0 .

chọn A.

Ví dụ 10: Tìm m để phương trình mx4 − 2(m − 1)x2 + m − 1= 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

Đặt x2 = t (t ≥ 0) khi đó phương trình đã cho trở thành:

mt2 − 2(m − 1)t + m − 1 = 0 (*)

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < t1 < t2

Khi đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là −√t2; −√t1; √t1; √t2

Để 4 nghiệm này lập thành cấp số cộng thì:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình (*) ta có:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Thay t2 = 9t1 vào (1) ta được : Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

thay vào (2) ta được:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Thử lại: Thay vào phương trình đã cho ta thấy Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 1: Với giá trị nào của x để ba số: 10 − 3x; 2x2 + 3 và 7 − 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng?

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: C

Để ba số 10 − 3x; 2x2 + 3 và 7 − 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Câu 2: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a và 3 cạnh lập thành cấp số cộng. Tính diện tích tam giác vuông đó theo a.

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Lời giải:

Đáp án: B

Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác.

Chu vi của tam giác: x + y + z = 3a (1)

Tính chất của cấp số cộng có x + z = 2y (2)

Vì tam giác vuông nên có: x2 + y2 = z2 (3)

Thay (2) vào (1) được 3y = 3a ⇔ y = a thay y = a vào (2) được:

x + z = 2a ⇔ x = 2a − z

Thay x và y vào (3) được: (2a- z)2 + a2 = z2

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Vậy độ dài ba cạnh của tam giác cần tìm là : Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

=> Diện tích tam giác vuông này là: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Câu 3: Biết rằng 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. Hỏi số lớn nhất trong 3 số đó bằng bao nhiêu?

A. 14     B. 9

C. 11    D. 13

Lời giải:

Đáp án: A

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng u1 − d; u1; u1 + d. Theo đề bài ta có:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Giải phương trình (*):

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

+ Với d = 5=> Ba số hạng cần tìm là: 4; 9; 14.

+ Với d = −5 => Ba số hang cần tìm là: 14; 9; 4

Câu 4: Biết rằng 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của của chúng là 384. Tìm số bé nhất trong bốn số đó.

A. 2     B. 5 − √241

C. −√241     D. Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án: D

Gọi 4 số hạng của cấp số cộng cần tìm là u1 = u − 3d; u2 = u − d; u3 = u + d và u4 = u + 3d có công sai d' = 2d.

Theo đề bài ta có:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Đặt t = d2 (t ≥ 0); khi đó phương trình (*) trở thành:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

* Với t = 1 => d2 = 1 ⇔ d = ±1

Với d = 1 => u1 = 2; u2 =4; u3 = 6 và u4 = 8

Với d = −1 => u1 = 8; u2 = 6; u3 =4 và u4 = 2

* Với: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Với Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

và u4 = 5 + √241

Với Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

và u1 = 5 + √241

Câu 5: Xác định m để phương trình x3 − 3x2 − 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m= 16     B. m= 11

C. m= 13    D. m= 12

Lời giải:

Đáp án: B

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng.

=> x1 + x3 = 2x2

Theo hệ thức Viet cho phương trình bậc ba ta có: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

=> 3x2 = 3 ⇔ x2 = 1

Thay x= 1 vào phương trình đã cho ta được:

13 − 3 . 12 − 9 . 1 + m = 0 ⇔ m = 11

Với m = 11 ta có phương trình x3 − 3x2 − 9x + 11 = 0

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Ba nghiệm này lập thành cấp số cộng.

Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.

Câu 6: Tìm m để phương trình x4 − 2(m+1).x2 + 2m + 1 = 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m= 16     B. m= 11

C. m= 13     D. m= 12

Lời giải:

Đáp án: B

Đặt t = x2 (t ≥ 0).

Phương trình trở thành: t2 − 2(m+1)t + 2m + 1 = 0 (2)

Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt 0 < t1 < t2

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Với điều kiện trên phương trình (2) có bốn nghiệm là: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi :

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Theo định lý viet thì Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Thay t2 = 9t1 vào (*) ta được: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay thay vào (**) ta được:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Vậy m = 4 hoặc Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay là những giá trị cần tìm.

Câu 7: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b ,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay, giá trị x+ y là:

A. 4     B. 1

C. 2     D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Do đó x + y = 4

Câu 8: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x3 − (3m + 1).x2 + 2mx = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

A. 0     B.1

C.2     D. 3

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

● Để các nghiệm này lập thành cấp số cộng nên ta sắp xếp các nghiệm này theo thứ tự tăng dần được các dãy số sau:

+ 2m, 0, 1 lập thành cấp số cộng Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

+ 0, 2m, 1 lập thành cấp số cộng Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

+ 0, 1, 2m lập thành cấp số cộng Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn là: Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay là các giá trị cần tìm.

Câu 9: Tìm m để phương trình : x3 − 3x2 − 9x + m = 0 có ba nghiệm phâ biệt và các nghiệm đố theo thứ tự lập thành cấp số cộng .

A. m= 11     B. m= 12     C. m= -11     D. m= 18

Lời giải:

Đáp án: A

* Điều kiện cần:

Ta có: x3 − 3x2 − 9x + m = 0 (*)

Gọi x1 < x2 < x3 là ba nghiệm của phương trình (*) .Khi đó, ta sẽ phân tích được:

Đồng nhất hệ số của x2 ta được: x1 + x2 + x3 = 3 (1) .

Do x1; x2; x3 lập thành một cấp số cộng theo thứ tự đó nên x1 + x3 = 2x2 (2).

Thế (2) vào (1) ta được: 3x2 = 3 ⇔ x2 = 1.

Thế x2 = 1 vào (*) được m = 11.

* Điều kiện đủ.

Thay m = 11 vào phương trình đã cho ta được:

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Vậy m = 11 là giá trị cần tìm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học