Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác.

1. Phương pháp giải

* Phương pháp:Để rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức lượng giác ta sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức và đẳng thức lượng giác nhằm triệt tiêu các giá trị lượng giác không đặc biệt.

* Các công thức thường sử dụng:

* Các hệ thức lượng giác cơ bản:

√ sin² α + cos² α = 1; 

√$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$($\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ , k ∈ ℤ);

√ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$(α ≠ kπ , k ∈ ℤ);

√ tanα⋅cotα=1($\alpha \ne \frac{k\pi }{2}$ , k ∈ ℤ).

* Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt:

√ Hai góc đối nhau (α và – α): cos (– α) = cos α; sin (– α) = – sin α;

                                             tan (– α) = – tan α; cot (– α) = – cot α.

√ Hai góc bù nhau (α và π – α): sin (π – α) = sin α; cos (π – α) = – cos α;

                                               tan (π – α)  = – tan α; cot (π – α)  = – cot α.

√ Hai góc phụ nhau (α và π2– α): sin $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = cos α; cos $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = sin α;

                                                   tan $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$  = cot α; cot $\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$ = tan α.

√ Hai góc hơn kém nhau π (α và π + α): sin (π + α) = – sin α; cos (π + α) = – cos α;

                                                            tan (π + α)  = tan α; cot (π + α) = cot α.

* Một số hệ thức mở rộng:

√ Với sin α và cos α xác định với mọi α ∈ ℝ, ta có:

sin (α + k2π) = sin α, ∀k ∈ ℤ.

cos (α + k2π) = cos α, ∀k ∈ ℤ.

√ Với tan α và cot α xác định với mọi $\alpha \ne \frac{k\pi }{2}$  (k ∈ ℤ), ta có:

tan (α + kπ) = tan α, ∀k ∈ ℤ.

cot (α + kπ) = cot α, ∀k ∈ ℤ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = cos $\left(\frac{\pi }{2}+x\right)$+ cos (2π– x) + cos (3π + x);

b) B = sin² x + sin² x.tan² x;

c) C = (tan x – cot x)² – (tan x + cot x)². 

Hướng dẫn giải

a) A = cos $\left(\frac{\pi }{2}+x\right)$+ cos (2π– x) + cos (3π + x)

= –sin x + cos (–x) +cos (2π + π + x)

= –sin x + cos x +cos (π + x)

=–sin x + cos x – cos x

        = –sin x.

b) B = sin² x + sin² x.tan² x = sin² x(1 + tan² x)

= sin2x.$\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}$= $\frac{{\sin }^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}={\tan }^{2}x$. 

c) C = (tan x – cot x)² – (tan x + cot x)²

= (tan x – cot x + tan x + cot x)(tan x – cot x – tan x – cot x)

= 2tan x.(– 2cot x) = – 4tan x.cot x = – 4.1 = – 4.

Ví dụ 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos⁴ x – sin⁴ x = 2cos² x – 1;

b) $\frac{{\text{cos}}^{2}x+{\tan }^{2}x-1}{{\sin }^{2}x}={\tan }^{2}x$

Hướng dẫn giải

a) VT = cos⁴ x – sin⁴ x = (cos² x – sin² x)(cos² x + sin² x)

= [cos² x – (1 – cos2²x)].1 = 2cos² x – 1 = VP.

b) VT = $\frac{{\text{cos}}^{2}x+{\tan }^{2}x-1}{{\sin }^{2}x}$ =  $\frac{{\text{cos}}^{2}x}{{\sin }^{2}x}+\frac{{\tan }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

 =  ${\cot }^{2}x+\frac{\frac{{\sin }^{2}x}{{\text{cos}}^{2}x}}{{\sin }^{2}x}-\left(1+{\cot }^{2}x\right)$ = ${\cot }^{2}x+\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-1-{\cot }^{2}x$

 $=\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1$= (1 + tan² x) – 1 = tan² x = VP.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Biểu thức rút gọn H = 2cos x – 3cos (π– x) + 5sin $\left(\frac{7\pi }{2}-x\right)$−x+ cot $\left(\frac{3\pi }{2}-x\right)$−xbằng

A. tan x;

B. cot x;

C. sin x;

D. cos x.

Bài 2. Biểu thức đơn giản của K = (1 – sin² x)cot² x + (1 – cot² x)là

A. sin² x;

B. cos² x;

C. – sin² x;

D. – cos² x.

Bài 3. Rút gọn biểu thức M = cos $\left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)$+ sin (α – π) ta được

A. cos α + sin α;

B. 2sin α;

C. sin α– cos α;

D. 0.

Bài 4. Biết $P=\frac{{\left(\sin \alpha -c\text{os}\alpha \right)}^2-1}{\cot \alpha -\sin \alpha c\text{os }\alpha }=a{\tan }^2\alpha .$Giá trị của a là

A. 1;

B. 2;

C. – 2;

D. 3.

Bài 5. Đơn giản biểu thức Q = sin⁴ x – cos⁴ x + 2cos² x, ta có Q bằng

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. – 1.

Bài 6. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. tan² x – sin² x = tan² x.sin² x;

B. tan² x – sin² x = tan² x.cos² x;

C. tan² x – sin² x = cot² x.cos² x;

D. tan² x – sin² x = sin² x.cos² x.

Bài 7. Rút gọn biểu thức L = sin⁴ α – cos⁴ α + 1 ta được

A. 3sin² α;

B. sin² α;

C. – sin² α;

D. 2sin² α.

Bài 8. Cho biểu thức T = $\frac{{\sin }^3\alpha +c{\text{os}}^3\alpha }{\sin \alpha +c\text{os }\alpha }$ = m + n.sin α.cos α (với m, n ∈ ℝ). Giá trị của m + n là:

A. 0;

B. 1;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{2}{3}$.

Bài 9.Rút gọn biểu thức E = $\frac{1-2{\sin }^{2}x}{2{\cos }^{2}x-1}$ ta được

A. 1;

B. 2;

C. – 1;

D. – 2.

Bài 10. Cho tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. sin B = sin (A + C);

B. cos (A + B) = – cos C;

C. cos (A + B – C) = cos 2C;

D. $\left(\frac{A+B+3C}{2}\right)$ = cos C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Bài toán thực tế về giá trị lượng giác của góc lượng giác

• Áp dụng công thức cộng, công thức nhân đôi

• Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

• Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

• Áp dụng công thức lượng giác vào bài toán rút gọn, chứng minh đẳng thức lượng giác

---