Lý thuyết Giới hạn của dãy số lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Lý thuyết Giới hạn của dãy số lớp 11 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Lý thuyết Giới hạn của dãy số.

Bài giảng: Bài 1: Giới hạn của dãy số - Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên VietJack)

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: hay u_n → 0 khi n → +∞.

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (v_n) có giới hạn là a (hay v_n dần tới a) khi n → +∞ nếu

Kí hiệu: hay v_n → a khi n → +∞.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) với k nguyên dương;

b) nếu |q| < 1;

c) Nếu u_n = c (c là hằng số) thì

Chú ý: Từ nay về sau thay cho ta viết tắt là lim u_n = a.

Định lí 1

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

    lim (u_n + v_n) = a + b

    lim (u_n – v_n) = a – b

    lim (u_n.v_n) = a.b

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (u_n) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = –∞ hay u_n → –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: u_n = +∞ ⇔ lim(–u_n) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim n^k = +∞ với k nguyên dương;

b) lim qⁿ = +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0, ∀ n > 0 thì

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì

Xem thêm các bài lý thuyết Toán lớp 11 chi tiết khác:

• Lý thuyết Giới hạn của hàm số
• Lý thuyết Hàm số liên tục
• Lý thuyết Tổng hợp chương Giới hạn
• Lý thuyết Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Lý thuyết Quy tắc tính đạo hàm