Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Chân trời sáng tạo)

Tài liệu chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục Toán lớp 11 sách Chân trời sáng tạo gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 11.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 11 Chân trời sáng tạo bản word có lời giải chi tiết:

Bài 1. Giới hạn của dãy số

I. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limn+un=0 hay limun=0 hay un0 khi n+ .

Ta nói dãy số vn có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n+, nếu limn+vna=0.

Kí hiệu: limn+vn=a hay vna khi n+.

2. Một số giới hạn cơ bản

Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Chân trời sáng tạo)

II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

a) Nếu limun=alimvn=b và c là hằng số thì:

limun+vn=a+b

limunvn=ab

limun.vn=a.b

limunvn=ab,b0

limc.un=c.a. lim|un|=|a| và limun3=a3

b) Nếu un0 với mọi n và limun=a thì a0limun=a.

Kỹ năng sử dụng máy tính

Tính limnunthì nhập un và ấn phím CALC n=1010.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn un có công bội q, với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S=u11q

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

Ta nói dãy số un có giới hạn là + khi n+, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limun=+ hay un+ khi n+.

Dãy số un có giới hạn là khi n+, nếu limun=+.

Kí hiệu: limun= hay un khi n+.

Nhận xét: un=+limun=.

Nhận xét

a) limnk=+ với k nguyên dương;

b) limqn=+ nếu q > 1.

c) Nếu limun=alimvn=± thì limunvn=0.

d) Nếu limun=a>0, limvn=0vn>0,n>0 thì limunvn=+.

e) limun=+limun=

e) Nếu limun=+limvn=a>0 thì limun.vn=+.

CHÚ Ý:

Quy tắc tìm giới hạn tích limun.vn

Nếu limun=L,limvn=+ (hay ). Khi đó limunvn

Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Chân trời sáng tạo)

Quy tắc tìm giới hạn thương limunvn

Chuyên đề Giới hạn. Hàm số liên tục lớp 11 (Chân trời sáng tạo)

Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài toán giới hạn vô cực của dãy số.

TÓM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT

Giới hạn hữu hạn

Giới hạn vô cực

1.Giới hạn đặc biệt:

limn+1n=0; limn+1nk=0,k*

limn+qn=0 (|q| < 1); limn+C=C

2. Định lí:

a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì

· lim = a + b

· lim = a – b

· lim = a.b

· limunvn=ab

b) Nếu un 0, n và lim un= a thì a 0 và limun=a

c) Nếu |un| vn, n và lim vn = 0

thì lim un = 0

d) Nếu lim un = a thì lim|un|=|a|

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = u11-q (|q| < 1)

1. Giới hạn đặc biệt:

limn=+; limnk=+(k+)

limqn=+(q>1)

2. Định lí:

a) Nếu lim|un| = + thì lim1un = 0

b) Nếu lim un = a, lim vn = ± thì limunvn= 0

c) Nếu lim un = a 0, lim vn = 0

thì lim unvn = +  nếu a.vn > 0-  nếu a.vn < 0

d) Nếu lim un = +, lim vn = a

thì lim = +  nếu a > 0-  nếu a < 0

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 00, ,-, 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0

Phương pháp giải: Để chứng minh limun=0 ta chứng minh với mỗi số a>0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số no sao cho |un| < a n>no.

Câu 1: Chứng minh rằng lim1n2+1=0

Câu 2: Chứng minh rằng limsin2nn+2=0

Câu 3: Chứng minh rằng lim1n2n+113n+1=0

DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG 0 CỦA DÃY SỐ

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài toán.

Câu 4: Cho dãy số un với un=n+1n+2 . Tính limun

Câu 5: Cho dãy số un với un=(0,97)n. Tính limun

Câu 6: Cho dãy số un với un=n+2sin(n+1)nn3+2n3. Tính limun

Câu 7: Cho dãy số un với un=n2+1n. Tính limun

Câu 8: Cho dãy số un với un=2n3+3n2+4n4+4n3+n. Tính limun

Câu 9: Cho dãy số un với un=1n.25n+135n+2. Tính limun

Câu 10: Cho dãy số un với un=5n+4n7n+1+4n+1. Tính limun

Câu 11: Cho dãy số un với un=n+n2+1n.3n. Tính limun

Câu 12: Cho dãy số un với un=n+23n3. Tính limun

Câu 13: Cho dãy số un với un=4n2+12nn2+4n+1n. Tính limun

Câu 14: Cho dãy số un với un=1+2+3+4+...+n1+3+32+33+...+3n.n+1. Tính limun

Câu 15: Cho dãy số un với un=112+21+123+32++1nn+1+(n+1)n. Tính limun1

Câu 16: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm limun với un=1n3n+2.

Câu 17: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm limun với un=n!nn3+2n.

Câu 18: Cho dãy số un với un=2nn+1n2+2n3. Tính limun

Câu 19: Cho dãy số un với un=1234562n12n. Tính limun

Câu 20: Dùng định nghĩa dãy số có giới hạn 0 tìm limun với un=1+cosn32n+3.

Câu 21: Cho dãy số un với un=n+n2+1n.3n. Tính limun

Câu 22: Cho dãy số un với un=1.3.5.7....2n12.4.6...2n. Tính limun

Câu 23: Cho dãy số un được xác định bởi: u1=1un+1=un+12n,n*. Tính limun2

DẠNG 3.TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ unun=PnQn (trong đó Pn,Qn là các đa thức của n)

Phương pháp giải: Chia tử và mẫu cho nk với nk là lũy thừa có số mũ cao nhất của Pn,Qn, sau đó áp dụng các định lí về giới hạn hữu hạn

Câu 24: limun, với un=5n2+3n7n2 bằng:

Câu 25: Tính giới hạn lim4n2+n+22n2+n+1

Câu 26: Tính giới hạn limn4n+12+nn2+1

Câu 27: Tính giới hạn lim2n+123n2+2n1n2+3n1

DẠNG 4.TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ unun=PnQn (trong đó PnQn là các biểu thức chứa căn của n.

Phương pháp giải

 Đánh giá bậc của tử và và mẫu. Sau đó, chia cả tử và mẫy cho nk với k là số mũ lớn nhất của PnQn (hoặc rút nk là lũy thừa lớn nhất của PnQn ra làm nhân tử. Áp dụng các định lí về giới hạn để tìm giới hạn

Câu 28: Tìm lim2n+1n+1.

Câu 29: Tìm lim2n+2nn.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 11 các chương hay khác:


Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học