Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết

---

---

Bài viết Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa đạo hàm

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a;b). Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số   khi x → x₀ được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x₀.

- Kí hiệu là f’(x₀) hay y’(x₀). Như vậy ta có: 

- Nhận xét:

Nếu đặt ∆x = x − x₀ và ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) thì ta có 

 

Trong đó ∆x được gọi là số gia của biến số tại x₀ 

∆y gọi là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại x₀.

b) Đạo hàm một bên

- Đạo hàm bên trái của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu là  được định nghĩa là: 

trong đó x→  được hiểu là x→ x₀ và x < x₀.

- Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu là  được định nghĩa là:

trong đó x→  được hiểu là x→ x₀ và x > x₀.

- Định lí: Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu và tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có:  

c) Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

- Hàm số y = f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f’(b ^-) và đạo hàm phải f’(a⁺) .

d) Quy tắc tính  đạo hàm bằng định nghĩa

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ theo định nghĩa, ta có 2 cách:

- Cách 1: 

Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại x₀ ta tính ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀)

Bước 2: Tính giới hạn  

- Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x₀ là  

e) Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x₀ thì f(x) liên tục tại x₀.

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x₀ nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x₀.

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm số gia của hàm số

Phương pháp giải:

Để tính số gia của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ tương ứng với số gia ∆x cho trước ta áp dụng công thức: ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y = f(x) = x³ – 3x² + 2, biết rằng:

a) x₀ = 1; ∆x = 1

b) x₀ = 1; ∆x = −0,1

Lời giải

a) Số gia của hàm số là: 

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = f(2) − f(1)

= 2³ − 3.2² + 2 − (1³ −  3.1² +2) = − 2

.b) Số gia của hàm số là: 

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) = f(0,9) − f(1)

= 0,9³ − 3.0,9² +2 − (1³ −  3.1² +2) = 0,299.

Ví dụ 2: Tìm số gia của hàm số:

a) y = 2x + 3

b) y = 2x² – 3x + 1 tại x₀ = 1

Lời giải

a) Số gia của hàm số là: 

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀) 

= 2(x₀ + ∆x) + 3 − (2x₀ + 3) = 2∆x

b) Số gia của hàm số là:

∆y = f(1 + ∆x) − f(1)

= 2(1 + ∆x)² − 3(1 + ∆x) + 1 − (2.1² − 3.1 +1)

= 2 + 4∆x + 2(∆x)² − 3 − 3∆x +1 − 0

= 2(∆x)² + ∆x.

Dạng 2: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Phương pháp giải: 

Muốn tính đạo hàm của hàm số tại điểm x₀ theo định nghĩa, ta có 2 cách:

Cách 1: 

Bước 1: Với ∆x là số gia của đối số tại x₀ ta tính ∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀)

Bước 2: Tính giới hạn

Cách 2: Đạo hàm của hàm số tại x₀ là  

Chú ý: Nếu không tồn tại giới hạn hữu hạn tại x₀ thì hàm số không có đạo hàm tại x₀.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của các hàm số sau:

a) y = 2x² + x + 1 tại x₀ = 2.

b) tại x₀ = 1.

c)  tại x₀ = 3

Lời giải

a) Cách 1: Với  là số gia của đối số x₀ = 2. 

Khi đó hàm số số gia tương ứng:

∆y = f(x₀ + ∆x) − f(x₀)

= 2(2 + ∆x)² + (2 + ∆x) + 1 − (2.2² − 2 +1)

= 8 + 8∆x + 2(∆x)² + 2 + ∆x +1 − 11

= 9