Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân.

* Cho (un) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q. Theo tính chất của cấp số nhân ta có: u_n² = u_n-1.u_n+1 với n ≥ 2.

* Để chứng minh ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh: ac = b².

Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh: (ab+ bc+ ca)³ = abc( a+ b+ c)³

Hướng dẫn giải:

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac= b².

Ta có:

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ví dụ 2: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh : (a² + b²).(b² + c²) = (ab + bc)²

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ví dụ 3: Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q≠0 và a ≠ 0. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Ta có:

Lại có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay (do (*) ( 2)

Và Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay (do (*)) (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4: Cho bốn số a,b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: ac + 2ad + bd = (b+c)²

Hướng dẫn giải:

* Do bốn số a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Ví dụ 5: Cho bốn số dương a ,b,c và d thỏa mãn √a; √b; √c và √d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số √a; √b; √c và √d theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Ta có:

Do đó; ta có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Và Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) suy ra: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ví dụ 6: Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số a,b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q. Ta có:

Khi đó; Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Và Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) suy ra: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Ví dụ 7: Cho bốn số dương phân biệt a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Hướng dẫn giải:

* Do bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q nên

* Ta có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

( chú ý bốn số đã cho là phân biệt nên q ≠ 1)

* Lại có : Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Từ (1) và (2) ta có: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Câu 1: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân .Chứng minh : (a + b +c). (a - b + c) = a² + b² + c²

Lời giải:

*Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: b² = ac

* Xét:

Câu 2: Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: (b-c)² + (c-a)² + ( d- b)² + ( a- d)² = (a-d)²

Lời giải:

Vì a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

a.d= bc; ac = b² và bd= c²

Ta có:

Câu 3: Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Lời giải:

* Do a,b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

* Ta có:

Câu 4: Cho ba số dương a,b,c lập thành cấp số nhân. Chứng minh: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay cũng lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: ac= b² *Ta phải chứng minh:

Câu 5: Cho (u_n) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k ( m < k). Chứng minh: u_k-m . u_k+m = u_k²

Lời giải:

Ta có :

Câu 6: Cho 3 số a,b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh: (a²+ b²). (b² + c²)= ( ab+ bc)²

Lời giải:

Do 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có: b= aq và c= aq²

• Từ (1) và (2) ta suy ra Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay .( đpcm)

Câu 7: Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn: Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay . Chứng minh tan a; tanb và tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.