Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

Bài viết Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân.

* Cho (un) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q. Theo tính chất của cấp số nhân ta có: u_n² = u_n-1.u_n+1 với n ≥ 2.

* Để chứng minh ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh: ac = b².

Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh: (ab+ bc+ ca)³ = abc( a+ b+ c)³

Hướng dẫn giải:

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac= b².

Ta có:

Ví dụ 2: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh : (a² + b²).(b² + c²) = (ab + bc)²

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ví dụ 3: Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q≠0 và a ≠ 0. Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Ta có:

Lại có: (do (*) ( 2)

Và (do (*)) (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4: Cho bốn số a,b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: ac + 2ad + bd = (b+c)²

Hướng dẫn giải:

* Do bốn số a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Ví dụ 5: Cho bốn số dương a ,b,c và d thỏa mãn √a; √b; √c và √d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số √a; √b; √c và √d theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Ta có:

Do đó; ta có:

Và

Từ (1) và (2) suy ra:

Ví dụ 6: Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số a,b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q. Ta có:

Khi đó;

Và

Từ (1) và (2) suy ra:

Ví dụ 7: Cho bốn số dương phân biệt a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Hướng dẫn giải:

* Do bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q nên

* Ta có:

( chú ý bốn số đã cho là phân biệt nên q ≠ 1)

* Lại có :

Từ (1) và (2) ta có:

Câu 1: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân .Chứng minh : (a + b +c). (a - b + c) = a² + b² + c²

Lời giải:

*Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: b² = ac

* Xét:

Câu 2: Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: (b-c)² + (c-a)² + ( d- b)² + ( a- d)² = (a-d)²

Lời giải:

Vì a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

a.d= bc; ac = b² và bd= c²

Ta có:

Câu 3: Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh:

Lời giải:

* Do a,b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

* Ta có:

Câu 4: Cho ba số dương a,b,c lập thành cấp số nhân. Chứng minh: cũng lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: ac= b² *Ta phải chứng minh:

Câu 5: Cho (u_n) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k ( m < k). Chứng minh: u_k-m . u_k+m = u_k²

Lời giải:

Ta có :

Câu 6: Cho 3 số a,b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh: (a²+ b²). (b² + c²)= ( ab+ bc)²

Lời giải:

Do 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có: b= aq và c= aq²

• Từ (1) và (2) ta suy ra .( đpcm)

Câu 7: Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn: . Chứng minh tan a; tanb và tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Lời giải:

* Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a + c= 2b.

Lại có:

Suy ra

* Ta có

Vậy tan a. tan c= tan²

=> tana; tanb; tanc theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách chứng minh một dãy số là cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay
• Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân cực hay
• Bài toán thực tế về cấp số nhân (cực hay có lời giải)
• Bài tập về cấp số nhân nâng cao (cực hay có lời giải)

---