Phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về cấp số cộng cực hay

Trang trước Trang sau

Bài viết Phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về cấp số cộng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về cấp số cộng.

1. Phương pháp giải

* Định nghĩa

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

- Cấp số cộng (u_n) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi: u_n = u_n-1 + d với n ≥ 2.

Ví dụ: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 5 và công sai d = 2. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số cộng này.

Hướng dẫn giải

Năm số hạng đầu của cấp số cộng này là:

u₁ = 5

u₂ = u₁ + d = 5 + 2 = 7

u₃ = u₂ + d = 7 + 2 = 9

u₄ = u₃ + d = 9 + 2 = 11

u₅ = u₄ + d = 11 + 2 = 13

* Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định theo công thức

u_n = u₁ + (n – 1)d

* Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

- Cho cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu u₁ và công sai d

Để tính tổng của n số hạng đầu

S_n = u₁ + u₂ + …. + u_n-1 + u_n

Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng S_n theo số hạng đầu u₁ và công sai d.

b) Viết S_n theo thứ tự ngược lại: S_n= u_n + u_n-1 + …. + u₂ + u₁ và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo u₁ và d.

c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính S_n theo u₁ và d.

- Cho cấp số cộng (u_n) với công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …. + u_n. Khi đó

S_n = $\frac{n}{2} [2 u_{1} + (n - 1) d]$ .

Chú ý: Sử dụng công thức u_n = u₁ + (n – 1)d, ta có thể viết tổng S_n dưới dạng

S_n = $\frac{n (u_{1} + u_{n})}{2}$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: x_n = 75 + 5(n–1)

a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?

b) Dãy số (x_n) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?

Hướng dẫn giải:

a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:

x₃ = 75 + 5(3 – 1) = 85 (cm)

b) Ta có: x_n+1 = 75 + 5(n + 1 – 1) = 75 + 5n

Xét hiệu x_n+1 – x_n = 75 + 5n – [75 + 5(n – 1)] = 5

Do đó (x_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu x₁ = 75 và công sai d = 5.

Ví dụ 2. Khi một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dù lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144; … 16; 48; 80; 112; 144; … (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).

a) Tính công sai của cấp số cộng trên.

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.

Phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về cấp số cộng cực hay

Hướng dẫn giải:

a) Công sai của cấp số cộng trên là: d = 32.

b) S₁₀ = $\frac{10. [2.16 + (10 - 1) .32]}{2} = 1600$ .

Vậy tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên là 1600 feet.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định theo kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5cm Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Cây với kiểu gene AABB có chiều cao là: 100 + 5.4 = 120 (cm).

Bài 2. Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Hướng dẫn giải:

Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 3. Gọi n là số các số hạng đầu cua cấp số cộng cần lấy tổng, ta có:

870 = S_n = $\frac{n}{2} [2.15 + (n - 1) .3] = \frac{n}{2} (27 + 3 n)$

Do đó 27n + 3n² – 1740 = 0, suy ra n = 20, n = –2(loại)

Vậy cần phải thiết kế 20 hàng ghế.

Bài 3. Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

Hướng dẫn giải:

Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có u₁ = 1200, công sai d = 30

Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: u_n = 1200 + 30(n–1)

Dân số của năm 2030 tức n = 11u₁₁ = 1200 + 30(11 – 1) = 1500 (nghìn người)

Bài 4. Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng thứ nhất có 20 ghế, số ghế ở các hàng sau đều hơn số ghế ngay trước đó một ghế. Cho biết rạp hát đã bán hết vé với giá mỗi vé là 60 nghìn đồng. Tính tổng số tiền vé thu được của rạp hát.

Hướng dẫn giải:

Gọi u_n là số ghế ở hàng thứ n.

Khi đó, dãy số (u_n) tạo thành cấp số cộng với u₁ = 20 và d = 1

Tổng số ghế có trong rạp hát là: S₂₀ = $\frac{20 [2.20 + (20 - 1) .1]}{2} = 590$ (ghế)

Tổng số tiền vé thu được là: 590.60000 = 35400000 (đồng).

Bài 5. Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?

Hướng dẫn giải:

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + … + 12) + 1 . 11 = $\frac{(1 + 12) .12}{2} + 11 = 89$ (tiếng chuông).

Bài 6. Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu đồng.

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu đồng.

Nếu là người được tuyền dụng vào doanh nghiệp trên, em nên chọn phương án nào khi:

a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?

b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Bài 7. Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ... , lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp.

Phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về cấp số cộng cực hay

Bài 8. Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua.

Bài 9. Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau n quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là

A_n = $200 {(1 + \frac{0,03}{4})}^{n}$ , n = 0, 1, 2,…

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.

b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.

Bài 10. Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 2,4 ở đáy và rộng 1,2m ở đỉnh (hình vẽ bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước 10cm×10cm phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó?

Phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về cấp số cộng cực hay

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Trang trước Trang sau

day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học