Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng (cực hay)

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng.

Bài toán: Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm A. Tìm điểm B là điểm đối xứng với A qua d.

- Bước 1: Tìm điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d.

   + Bước 1.1: Gọi tọa độ điểm H(xH; yH).

   Vì điểm H thuộc d nên : axH + byH + c = 0 (1).

   + Bước 1.2: Do AH vuông góc d nên AH→ là VTPT của d.

   ⇒ AH→(xH - xA; yH - yA) và n→(a;b) cùng phương

   ⇒ b(xH - xA) - a(yH - yA)= 0 (2)

   + Bước 1.3: giải hệ(1) và (2) ta được tọa độ điểm H.

- Bước 2: H là trung điểm của AB. Từ đó xác định điểm B

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y = 0 và điểm M(1; 3). Tìm hình chiếu của M trên d?

A. (1; 3)    B. (2; 2)    C. ( 3; -1)    D. (4; -1)

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a - b = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên (MH) ⃗ cùng phương nd→(1; -1)

⇒ Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇔ -a + 1 = b - 3 hay a + b = 4 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

⇒ Tọa độ điểm H(2; 2).

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0 và điểm M(1; 3). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 2x - y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 2b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: (MH) ⃗(a - 1; b - 3).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1;2)

⇒ Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇔ 2a - 2 = b - 3 hay 2a - b = -1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

⇒ Tọa độ điểm H(-1,2; -1,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

Vậy M’(-3,4; - 5,8) ⇒ 2x - y = -1

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: 2x- y= 0 và điểm M(1 ; 0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tính 4x + 3y?

A. 1    B. 2    C. 0    D. -1

Lời giải

+ Gọi H(a ; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên 2a- b= 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(2; -1)

⇒ Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇔ -a + 1 = 2b hay a + 2b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

⇒ Tọa độ điểm H(0,2; 0,4).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

Vậy M’(-0,6; 0,8) ⇒ 4x + 3y = 0

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay = 1 và điểm A(2; 0). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (-1; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay = 1

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng (d): x + y - 3 = 0 và điểm M(2; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. x + y - 4 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 1 = 0    D. x - y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n→( 1; 1).

+ Vecto MA→( x - 2; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương

⇔ Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇔ x - 2 = y - 1 hay x - y - 1 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: x- y- 1= 0

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 2) và C(-2; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?

A. G’( - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ;- Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )    B. G’( Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )    C. G’( Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )    D. G’( - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )

Lời giải

+ ta có: OB→(0; 2); OC→( -2; 0)

⇒ OB= 2; OC= 2 và OB→.OC→ = 0.(-2) + 2.0 = 0

⇒ OB vuông góc OC và OB= OC

⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.

+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇒ G(- Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )

+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.

⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.

- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇒ M(-1; 1)

- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇒ G’( - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )

⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: x + 4y + 4 = 0 và điểm M(1; 2). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tìm M’?

A. M’( Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )    B. M’( Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )    C. M’(- Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )    D. M’(- Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )

Lời giải

+ Gọi H(a; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a + 4b + 4 = 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b - 2).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1;4)

⇒ Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇔ 4a - 4 = b - 2 hay 4a – b = 2 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

⇒ Tọa độ điểm H(Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ).

+ Gọi M’ đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

Vậy M’(- Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ; - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )

Chọn D.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và điểm M(1 ;0). Gọi M’ (x; y) là điểm đối xứng với M qua d. Tìm tọa độ điểm M’?

A. (0; 2)    B. (-2; 1)    C. (2; 1)    D. (-1; 2)

Lời giải

+ Gọi H(a ; b) là hình chiếu của M trên d.

+ Do H thuộc d nên a+ b- 2= 0 (1)

+ Ta có: MH→(a - 1; b).

Đường thẳng MH vuông góc d nên MH→ cùng phương nd→(1 ; 1)

⇒ Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇔ a - 1 = b hay a - b = 1 (2)

+ Từ (1) và (2) ta có hệ : Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

⇒ Tọa độ điểm H(1,5; 0,5).

+ Gọi M’đối xứng với M qua d thì H là trung điểm MM’ nên tọa độ điểm M’:

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay

Vậy M’(2; 1)

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay = 1 và điểm A(-2; 1). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua d?

A. (2; -1)    B. (-2; -1)    C. (-2; 1)    D. (-1; 3)

Lời giải

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được :

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay = 1

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d nên điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d là chính nó.

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho đường thẳng (d): 2x + 3y - 3 = 0 và điểm M(0; 1) thuộc (d). Tập hợp những điểm A( x; y) sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng nào?

A. 2x + 3y - 4 = 0    B. 3x - 2y + 2 = 0    C. 3x - 2y - 1 = 0    D. 2x - 3y + 3 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng (d) có VTPT n→(2; 3).

+ Vecto MA→( x; y - 1).

Do M là hình chiếu của A trên d nên MA vuông góc d

⇒ Hai vecto MA→ và n→ cùng phương

⇔ Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇔ 3x = 2y - 2 hay 3x - 2y + 2 = 0

Vậy tập hợp những điểm A sao cho M là hình chiếu của A trên d là đường thẳng:
∆: 3x - 2y + 2 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho tam giác OBC có O(0; 0) ; B( 0; 6) và C(-6; 0). Gọi G là trọng tâm tam giác OBC. Tìm điểm G’ đối xứng với G qua BC?

A. G’( - Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ;- Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay )    B. G’( -1; 1)    C. G’(-2; 2)    D. G’(-4; 4)

Lời giải

+ ta có: OB→(0; 6); OC→( -6; 0)

⇒ OB= 6; OC= 6 và OB→.OC→ = 0.(-6) + 6.0 = 0

⇒ OB vuông góc OC và OB= OC

⇒ Tam giác OBC vuông góc tại O.

+ Do G là trọng tâm tam giác OBC nên tọa độ điểm G:

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇒ G( -2; 2)

+ Gọi M là trung điểm của BC. Do tam giác OBC là vuông cân tại O nên đường trung tuyến OM đồng thời là đường cao nên OM vuông góc BC tại M.

⇒ G’ đối xứng với G qua BC nên M là trung điểm của GG’.

- M là trung điểm BC nên tọa độ điểm M: Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇒ M( - 3; 3)

- M là trung điểm GG’nên tọa độ điểm G’ là:

Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay ⇒ G’ ( -4; 4)

⇒ Vậy tọa độ điểm G’( - 4; 4)

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Trang trước Trang sau
phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp
Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học