Phương trình đường tròn là gì lớp 10 (chi tiết nhất)

Trang trước Trang sau

Bài viết Phương trình đường tròn là gì lớp 10 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình đường tròn.

1. Phương trình đường tròn

Phương trình (x – a)² + (y – b)² = R² được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R.

Phương trình đường tròn ở dạng trên thường được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn.

Nhận xét: Ta có (x – a)² + (y – b)² = R² ⇔ x² + y² – 2ax – 2by + (a² + b² – R²) = 0.

Vậy phương trình đường tròn (x – a)² + (y – b)² = R² có thể được viết dưới dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a² + b² – R². Dạng đó thường được gọi là phương trình tổng quát của đường tròn.

Ngược lại, phương trình x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a² + b² – c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c} .$

2. Ví dụ minh họa về phương trình đường tròn

Ví dụ 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: (x – 2)² + (y + 3)² = 16.

Viết phương trình đường tròn (C’) có tâm J(2; –1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).

Hướng dẫn giải

Ta viết phương trình của (C) ở dạng (x – 2)² + (y – (–3))² = 4².

Vậy (C) có tâm I(2; –3) và bán kính R = 4.

Đường tròn (C’) có tâm J(2; –1) và có bán kính R’ = 2R = 8, nên có phương trình

(x – 2)² + (y + 1)² = 64.

Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm O(0; 0), bán kính R;

b) (C) có tâm I(1; –3), bán kính R = 5;

c) (C) đi qua ba điểm A(3; 6), B(2; 3) và C(6; 5).

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (C) tâm O(0; 0), bán kính R có phương trình: x² + y² = R².

b) Đường tròn tâm I(1; –3), bán kính R = 5 có phương trình: (x – 1)² + (y + 3)² = 25.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có $M (\frac{5}{2}; \frac{9}{2}), N (\frac{9}{2}; \frac{11}{2}) .$

Đường trung trực ∆₁ của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua M và nhận $\vec{B A} = (1; 3)$ làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình: x + 3y – 16 = 0.

Đường trung trực ∆₂ của đoạn thẳng AC là đường thẳng đi qua N và nhận $\vec{A C} = (3; - 1)$ làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình: 3x – y – 8 = 0.

∆₁ cắt ∆₂ tại điểm I(4; 4) cách đều ba điểm A, B, C, suy ra đường tròn (C) cần tìm có tâm I(4; 4) và có bán kính $R = I A = \sqrt{5} .$

Vậy (C) có phương trình: (x – 4)² + (y – 4)² = 5.

Ví dụ 3. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² + y² – 4x + 6y – 23 = 0.

b) x² + y² – 2x – 4y + 9 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = 2; b = –3; c = –23.

Ta có a² + b² – c = 4 + 9 + 23 = 36 > 0.

Vậy đây là phương trình đường tròn có tâm I(2; –3) và có bán kính $R = \sqrt{36} = 6.$

b) Phương trình đã cho có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a = 1; b = 2; c = 9.

Ta có a² + b² – c = 1 + 4 – 9 = –4 < 0.

Vậy đây không phải phương trình đường tròn.

3. Bài tập về phương trình đường tròn

Bài 1. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x² + y² – 2x – 4y – 20 = 0;

b) (x + 5)² + (y + 1)² = 121;

c) x² + y² – 4x – 8y + 5 = 0;

d) 2x² + 2y² + 6x + 8y – 2 = 0.

Bài 2. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = 4;

b) (C) có tâm I(2; –2), bán kính R = 8;

c) (C) đi qua ba điểm A(1; 4), B(0; 1), C(4; 3).

Bài 3. Viết phương trình đường tròn:

a) Tâm I(6; –4) đi qua điểm A(8; –7).

b) Đi qua ba điểm A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3).

Bài 4. Tìm k sao cho phương trình: x² + y² + 2kx + 4y + 6k – 1 = 0 là phương trình đường tròn.

Bài 5. Một sân khấu đã được thiết lập một hệ trục tọa độ để đạo diễn có thể sắp đặt ánh sáng và xác định vị trí của các diễn viên. Cho biết một đèn chiếu đang rọi trên sân khấu một vùng sáng bên trong đường tròn (C) có phương trình (x – 13)² + (y – 4)² = 16.

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C).

b) Cho biết tọa độ trên sân khấu của ba diễn viên A, B, C như sau: A(11; 4), B(8; 5), C(15; 5). Diễn viên nào đang được đèn chiếu sáng?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 sách mới hay, chi tiết khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học