Định lí dấu của tam thức bậc hai lớp 10 (chi tiết nhất)

Bài viết Định lí dấu của tam thức bậc hai lớp 10 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu định lí dấu của tam thức bậc hai.

1. Định lí dấu của tam thức bậc hai

Định lí: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b² – 4ac.

+ ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ.

+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{\frac{-b}{2a}\right\}.$

+ Nếu ∆ > 0 thì f(x) có hai nghiệm x₁, x₂ (x₁ < x₂). Khi đó:

f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (–∞; x₁) và (x₂; +∞);

f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂).

Nhận xét: Trong định lí, có thể thay biệt thức ∆ = b² – 4ac bằng biệt thức thu gọn ∆’ = (b’)² – ac với b = 2b’.

Chú ý: Khi ∆ > 0, dấu của f(x) và a là: “Trong trái, ngoài cùng”.

2. Ví dụ minh họa về định lí dấu của tam thức bậc hai

Ví dụ 1. Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 3x² – x + 1.

b) f(x) = 4x² + 4x + 1.

Hướng dẫn giải

a) Tam thức bậc hai f(x) = 3x² – x + 1 có ∆ = –11 < 0, hệ số a = 3 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) Tam thức bậc hai f(x) = 4x² + 4x + 1 có ∆ = 0, nghiệm kép $x_0=-\frac{1}{2}$ và hệ số a = 4 > 0 nên f(x) > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-\frac{1}{2}\right\}.$

Ví dụ 2. Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – 3x + 2.

Hướng dẫn giải

Tam thức bậc hai f(x) = x² – 3x + 2 có hai nghiệm phân biệt x₁ = 1, x₂ = 2 và hệ số a = 1 > 0.

Ta có bảng xét dấu của f(x) như sau:

x	–∞               1                  2                +∞
f(x)	+        0         –       0         +

Ví dụ 3. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) x² + x + 1.

b) $-\frac{3}{2}{x}^2+9x-\frac{27}{2}.$

c) –2x² – 6x + 8.

Hướng dẫn giải

a) f(x) = x² + x + 1 có ∆ = –3 < 0 và a = 1 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) $f\left(x\right)=-\frac{3}{2}{x}^2+9x-\frac{27}{2}$ có ∆ = 0 và $a=-\frac{3}{2}<0$ nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi x ≠ 3.

c) Dễ thấy f(x) = –2x² – 6x + 8 có ∆’ = 25 > 0, a = –2 < 0 và có hai nghiệm phân biệt x₁ = –4, x₂ = 1.

Do đó ta có bảng xét dấu f(x):

x	–∞               –4                  1                +∞
f(x)	–        0         +       0         –

Suy ra f(x) > 0 với mọi x ∈ (–4; 1) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (–∞; –4) ∪ (1; +∞).

3. Bài tập về định lí dấu của tam thức bậc hai

Bài 1. Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = –2x² + 4x – 5.

b) f(x) = –x² + 6x – 9.

Bài 2. Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = –x² – 2x + 8.

Bài 3. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) >$-3x^2+x-\sqrt{2}.$

b) x² + 8x + 16.

c) –2x² + 7x – 3.

Bài 4. Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) ứng với đồ thị hàm số y = f(x) được cho ở mỗi hình vẽ bên dưới.

Bài 5. Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = –200x² + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc xác định lãi hay lỗ khi kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của y = –200x² + 92 000x – 8 400 000, tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = –200x² + 92 000x – 8 400 000. Dựa theo số sản phẩm bán ra, cho biết doanh nghiệp có lãi khi nào, bị lỗ khi nào.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 sách mới hay, chi tiết khác:

• Đồ thị hàm số là gì

• Hàm số bậc hai là gì

• Tam thức bậc hai là gì

• Phương trình đường tròn là gì

• Đường elip là gì

• Đường hypebol là gì

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---