Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai (cực hay)

---

---

Bài viết Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai cực hay với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các dạng bài tập về nghiệm của phương trình bậc hai cực hay.

a. Định lí Vi-ét.

Hai số x₁ và x₂ là các nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x₁ + x₂ = -b/a và x₁.x₂ = c/a

b. Ứng dụng.

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

- Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) = ax² + bx + c có hai nghiệm x₁ và x₂ thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)

- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x² - Sx + P = 0.

- Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

- Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = -b/a, P = c/a. khi đó

   + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   + Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

   + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi

Bài 1: Cho phương trình x² - 3x - 5 = 0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Phương trình x² - 3x - 5 = 0 (*), có Δ = (-3)² - 4.(-5) = 29 > 0 → (*) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂

Theo hệ thức Viet, ta có

Bài 2: Giả sử phương trình x² - (2m+1)x + m² + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x₁, x₂. Tính giá trị biểu thức P = 3x₁x₂ - 5(x₁ + x₂) theo m

Lời giải:

Theo định lý Viet, ta có

Thay vào P, ta được P = 3(m² + 2) - 5(2m + 1) = 3m² - 10m + 1

Bài 3: Giả sử phương trình 2x² - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂. Tính giá trị của biểu thức T = |x₁ - x₂|

Lời giải:

Vì x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 2x² - 4ax - 1 = 0

Theo hệ thức Viet, ta có x₁ + x₂ = -(-4a/2) = 2a và x₁.x₂ = -1/2     (1)

Ta có T = |x₁ - x₂| ⇔ T² = (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂    (2)

Từ (1) và (2) suy ra T² = (2a)² -4.(-1/2) = 4a² + 2 ⇒ T = √(4a² + 2) > 0

Bài 4: Cho hai phương trình x² - mx + 2 = 0 và x² + 2x - m = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3?

Lời giải:

Gọi x₀ là một nghiệm của phương trình x² - mx + 2 = 0

Suy ra 3-x₀ là một nghiệm của phương trình x² + 2x - m = 0

Khi đó, ta có hệ

Thay (2) vào (1), ta được x₀² - (x₀² - 8x₀ + 15)x₀ + 2 = 0

cho ta 3 giá trị của m cần tìm

Bài 5: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - 2(m+1)x + m² + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x₁x₂ - 2(x₁ + x₂) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

Ta có Δ' = (m+1)² - (m² + 2) = 2m - 1

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2.    (*)

Theo định lý Viet, ta có

Khi đó 1

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 2

Bài 6: Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình x² - (2m+1)x + m² + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức có giá trị nguyên

Lời giải:

Ta có Δ = (2m + 1)² - 4(m² + 1) = 4m - 3

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/4

Theo định lý Viet, ta có

Khi đó

Do m ≥ 3/4 nên 2m + 1 ≥ 5/2

Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2

Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
• Bài tập phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
• Phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Bài tập phương trình chứa ẩn ở mẫu

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---