Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị biểu thức lượng giác (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị biểu thức lượng giác lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại hoặc tính giá trị biểu thức lượng giác.

1. Phương pháp giải

* Từ hệ thức lượng giác cơ bản và mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp.

* Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

• Một số kiến thức cần lưu ý:

+) Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

- Của 2 góc phụ nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(90° – α) = cosα;

cos(90° – α) = sinα;

tan(90° – α) = cotα (α ≠ 90°);

cot(90° – α) = tanα (0° < α < 180°).

- Của 2 góc bù nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:

sin(180° – α) = sinα;

cos(180° – α) = – cosα;

tan(180° – α) = – tanα (α ≠ 90°);

cot(180° – α) = – cotα (0° < α < 180°).

+) Một số hệ thức lượng giác cơ bản.

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta đều có:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\left(\alpha \ne 90°\right);\cot \alpha =\frac{cos\alpha }{\sin \alpha }\left(0°<\alpha <180°\right);$

${\sin }^2\alpha +co{s}^2\alpha =1;$

$\tan \alpha .\cot \alpha =1\left(0°<\alpha <180°,\alpha \ne 90°\right)\text{;}$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne 90°\right);$

$1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(0°<\alpha <180°\right).$

+) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của góc α đều mang dấu dương.

Nếu α là góc tù thì sin α > 0, cos α < 0, tan α < 0 và cot α < 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α biết sinα = $\frac{1}{3}$ và 90° < α < 180°.

Hướng dẫn giải:

Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0.

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra cosα = $-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$

và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=-2\sqrt{2}$.

Ví dụ 2. Cho góc α với $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức A = 2sin²α + 5cos²α.

Hướng dẫn giải:

Ta có: A = 2sin²α + 5cos²α = 2 . (1 – cos²α) + 5cos²α = 2 + 3cos²α

Với $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$, thay vào biểu thức A ta được

A = 2 + 3 . ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = 2 + 3 . $\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{2}$.

Vậy A = $\frac{7}{2}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho góc α (0° < α < 180°) với $\cos \alpha =\frac{1}{3}$ . Giá trị của sinα bằng:

A. 0;

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$;

C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$;

D. $\sqrt{3}$.

Bài 2. Cho góc α thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{12}{13}$ và 90° < α < 180°. Tính cosα.

A. $\cos \alpha =\frac{2}{13}$;

B. $\cos \alpha =\frac{5}{13}$;

C. $\cos \alpha =-\frac{5}{13}$;

D. $\cos \alpha =-\frac{2}{13}$.

Bài 3. Cho góc α với 0° < α < 180°. Tính giá trị của cosα, biết $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$.

A. $-\frac{1}{3}$;

B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$;

C. $\frac{1}{3}$;

D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Bài 4. Cho góc α (0° < α < 180°) với $\cot \alpha =-\sqrt{2}$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$;

B. $\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$;

C. $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$;

D. $\tan \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 5. Tính giá trị của cosα biết 0° < α < 180°, α ≠ 90°, $\sin \alpha =\frac{2}{5}$ và tanα + cotα > 0.

A. $-\frac{\sqrt{21}}{5}$;

B. $\frac{3}{5}$;

C. $-\frac{3}{5}$;

D. $\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Bài 6. Cho $\cos \alpha =\frac{1}{3}$. Tính $A=\frac{\tan \alpha +4\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }$.

A. $\frac{4}{3}$;

B. $\frac{1}{3}$;

C. $\frac{2}{3}$;

D. 1.

Bài 7.  Cho góc α thỏa mãn $\tan \alpha =3$ và 0° < α < 90°. Tính P = cosα + sinα.

A. $\frac{3\sqrt{10}}{5}$;

B. $\frac{2\sqrt{10}}{5}$;

C. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$;

D. $\frac{2\sqrt{10}}{10}$.

Bài 8. Cho góc α (0° < α < 180°) thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{5}{13}$.

Giá trị của biểu thức $P=2\sqrt{4+5\tan \alpha }+3\sqrt{9-12\cot \alpha }$ là:

A. 11;

B. 12;

C. 13;

D. 14.

Bài 9. Cho góc α thỏa mãn tanα = 5. Tính $P=\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{3\sin \alpha -2\cos \alpha }$.

A. 0;

B. 1;

C. $\frac{12}{13}$;

D. $\frac{10}{13}$.

Bài 10. Cho góc α thỏa mãn cotα = 3. Tính P = sin⁴α – cos⁴α.

A. $-\frac{4}{5}$;

B. $-\frac{9}{10}$;

C. $\frac{4}{5}$;

D. $\frac{9}{10}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc

• Xác định các cạnh và góc chưa biết trong tam giác

• Chứng minh đẳng thức, hệ thức liên quan

• Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác

• Các cách tính diện tích tam giác

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---