Xác định các cạnh và góc chưa biết trong tam giác (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Xác định các cạnh và góc chưa biết trong tam giác lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định các cạnh và góc chưa biết trong tam giác.

1. Phương pháp giải

• Để xác định độ dài các cạnh và số đo các góc chưa biết trong tam giác, ta sử dụng nhuần nhuyễn và kết hợp các kiến thức về định lí côsin, hệ quả của định lí côsin, định lí sin, hệ quả của định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác để từ giả thiết bài toán ta suy ra kết luận các yếu tố cần tìm.

• Một số kiến thức cần lưu ý:

+) Định lý côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c.

Ta có:

a² = b² + c² − 2bc.cosA;

b² = a² + c² − 2ac.cosB;

c² = a² + b² − 2ab.cosC.

+) Hệ quả định lí côsin:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$;

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$;

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

+) Định lý sin:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$(với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác).

+) Các công thức tính diện tích tam giác:

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo các công thức sau:

* $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c$ với h_a; h_b; h_c lần lượt là các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

* $S=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$.

* $S=\frac{abc}{4R}$ với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

* S = pr với $p=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$ và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ với $p=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)$ (công thức Hê - rông).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=112°$, AC = 7 và AB = 10. Tính độ dài của cạnh BC và các góc B, C của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Theo định lý côsin, ta có:

BC² = AB² + AC² −2.AB.AC.cosA = 7² + 10² −2.7.10.cos112° ≈ 201,44.

Vậy $BC\approx \sqrt{\mathrm{201,44}}\approx \mathrm{14,19}$.

Theo hệ quả của định lý cô sin, ta có:

$\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}\approx \frac{{10}^2+{\mathrm{14,19}}^2-7^2}{\mathrm{2.10.14,19}}\approx \mathrm{0,89}$.

Suy ra $\widehat{B}\approx 27°7^{\text{'}}$.

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\Rightarrow \widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)$

Do đó: $\widehat{C}\approx 40°{53}^{\text{'}}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=63°$, $\widehat{B}=87°$, BC = 15. Tính độ dài cạnh AB,  AC của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Đặt a = BC, b = AC, c = AB.

Ta có a = 15.

Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°\Rightarrow \widehat{C}=180°-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180°-\left(63°+87°\right)=30°$.

Áp dụng định lý sin, ta có $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

Suy ra $AC=b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{15.\sin 87°}{\sin 63°}\approx \mathrm{16,81}$;

$AB=c=\frac{a\sin C}{\sin A}=\frac{15.\sin 30°}{\sin 63°}\approx \mathrm{8,42}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC có a = 4, b = 6 và cosC = $\frac{2}{3}$. Giá trị của c bằng:

A. $3\sqrt{5}$;

B. $2\sqrt{5}$;

C. $5\sqrt{2}$;

D. $5\sqrt{3}$.

Bài 2. Cho tam giác DEF có DE = 4 cm; DF = 5 cm và EF = 3 cm. Số đo của của góc D gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 78,63°;

B. 78,36°;

C. 63,78°;

D. 36,87°.

Bài 3. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=60°$, $\widehat{B}=45°$, b = 4. Tính cạnh a.

A. $2\sqrt{6}$;

B. $3\sqrt{6}$;

C. $6\sqrt{2}$;

D. $6\sqrt{3}$.

Bài 4. Cho tam giác nhọn MNP có $\widehat{N}=60°$; MP = 8 cm; MN = 5 cm. Số đo của góc M gần nhất với giá trị:

A. 85°;

B. 86°;

C. 87°;

D. 88°.

Bài 5. Cho tam giác ABC biết AB = 4, BC = 6, $\widehat{B}=120°$. Độ dài cạnh AC là

A. $2\sqrt{19}$;

B. $2\sqrt{9}$;

C. $19\sqrt{2}$;

D. $9\sqrt{2}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 5, CA = 6, AB = 7. Côsin của góc có số đo lớn nhất trong tam giác đã cho là

A. $\frac{2}{5}$;

B. $\frac{1}{5}$;

C. $-\frac{1}{5}$;

D. $-\frac{2}{5}$.

Bài 7. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=120°$, AB = 1, AC = 2. Trên tia CA kéo dài lấy điểm D sao cho BD = 2. Tính AD.

A. $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$;

B. $\frac{1}{2}$;

C. $\frac{1+2\sqrt{13}}{2}$;

D. $\frac{2+\sqrt{13}}{2}$.

Bài 8. Cho góc xOy bằng 60°. Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = $4\sqrt{3}$. Tính độ dài đoạn OA để OB có độ dài lớn nhất.

A. $4\sqrt{3}$;

B. $3\sqrt{3}$;

C. 3;

D. 4.

Bài 9. Cho tam giác ABC nhọn biết a = $\sqrt{24}$, c = $2+\sqrt{12}$ và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = $2\sqrt{2}$. Tìm cạnh b của tam giác ABC biết b là số nguyên.

A. 3;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

Bài 10. Cho tam giác ABC biết $\frac{\sin B}{\sin C}=\sqrt{3}$ và $AB=2\sqrt{2}$ . Tính AC.

A. $2\sqrt{2}$;

B. $2\sqrt{3}$;

C. $2\sqrt{6}$;

D. $2\sqrt{5}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Chứng minh đẳng thức, hệ thức liên quan

• Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác

• Các cách tính diện tích tam giác

• Chứng minh tam giác (vuông, nhọn, tù)

• Cách làm các bài tập giải tam giác

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---