Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

Trang trước Trang sau

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6: Một số yếu tố thống kê và xác suất sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Chương 6.

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6

1. Biểu diễn dữ liệu trên bảng thống kê, biểu đồ tranh

1.1. Biểu diễn dữ liệu trên bảng thống kê

Để biểu diễn dữ liệu trên bảng thống kê, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Các đối tượng thống kê lần lượt được biểu diễn ở cột đầu tiên, trong khi các tiêu chí thống kê lần lượt được biểu diễn ở dòng đầu tiên hoặc ngược lại

Bước 2. Các số liệu thống kê theo tiêu chí của mỗi đối tượng thống kê lần lượt được biểu diễn ở dòng (hoặc cột) tương ứng.

1.2. Biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ tranh

Để biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ tranh, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Các đối tượng thống kế được biểu diễn ở cột đầu tiên

Bước 2. Chọn biểu tượng để biểu diễn số liệu thống kê. Các biểu tượng đó được trình bày ở dòng cuối cùng

Bước 3. Số liệu thống kê theo tiêu chí của mỗi đối tượng thống kê được biểu diễn bằng các biểu tượng ở dòng tương ứng.

2. Biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ cột, biểu đồ cột kép

2.1. Biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ cột

Để biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ cột, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai trục vuông góc với nhau

⦁ Trên trục nằm ngang: biểu diễn các đối tượng thống kê

⦁ Trên trục thẳng đứng: xác định độ dài đơn vị để biểu diễn số liệu thống kê và cần chọn độ dài đơn vị thích hợp với số liệu

Bước 2. Tại vị trí các đối tượng thống kê trên trục nằm ngang, vẽ những cột hình chữ nhật: cách đều nhau; có chiều rộng; có chiều cao thể hiện số liệu thống kê theo tiêu chí của mỗi đối tượng thống kê.

Bước 3. Hoàn thiện biểu đồ: ghi tên các trục và ghi số liệu tương ứng trên mỗi cột (nếu cần).

Chú ý: Khi số lượng đối tượng thống kê ít, ta có thể dùng bảng thống kê hoặc biểu đồ cột để biểu diễn dữ liệu. Biểu đồ cột là cách biểu diễn trực quan các số liệu thống kê, vì thế biểu đồ cột thuận lợi hơn bảng thống kê trong việc nhận biết đặc điểm của các số liệu thống kê. Tuy nhiên, khi số lượng thống kê nhiều, ta nên dùng bảng thống kê kể biểu diễn dữ liệu.

2.2. Biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ cột kép

Để biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ cột kép, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai trục vuông góc với nhau

⦁ Trên trục nằm ngang: biểu diễn các đối tượng thống kê

⦁ Trên trục thẳng đứng: xác định độ dài đơn vị để biểu diễn số liệu thống kê và cần chọn độ dài đơn vị thích hợp với số liệu

Bước 2. Tại vị trí của mỗi đối tượng thống kê trên trục nằm ngang, ta vẽ hai cột sát nhau thể hiện hai loại số liệu của đối tượng đó, những cột hình chữ nhật: cách đều nhau; có chiều rộng; có chiều cao thể hiện số liệu thống kê theo tiêu chí của mỗi đối tượng thống kê.

Bước 3. Hoàn thiện biểu đồ: ghi tên các trục và ghi số liệu tương ứng trên mỗi cột. Các cột thể hiện số liệu theo cùng một tiêu chí thống kê của các đối tượng thường được tô cùng màu để thuận tiện cho việc đọc biểu đồ.

Chú ý: Nếu mỗi đối tượng thống kê đều có hai số liệu thống kê theo hai tiêu chí khác nhau thì ta nên dùng biểu đồ cột kép để biểu diễn dữ liệu. Ngoài ra, khi muốn so sánh hai tập dữ liệu với nhau, ta cũng dùng biểu đồ cột kép.

3. Biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ đoạn thẳng

Để biểu diễn dữ liệu trên biểu đoạn thẳng, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Vẽ hai trục vuông góc với nhau tại điểm O.

⦁ Trên trục nằm ngang: mỗi đối tượng thống kê được đánh dấu bằng một điểm và các điểm này thường được vẽ cách đều nhau

⦁ Trên trục thẳng đứng: xác định độ dài đơn vị để biểu diễn số liệu thống kê và cần chọn độ dài đơn vị thích hợp với số liệu, đánh dấu điểm theo tiêu chí của đối tượng thống kê tương ứng

Bước 2. Với mỗi đối tượng thống kê, ta tiếp tục:

⦁ Xác định điểm A đánh dấu số liệu thống kê trên trục thẳng đứng của đối tượng thống kê đó

⦁ Kẻ bằng nét đứt một đoạn thẳng có độ dài bằng OA, vuông góc với trục nằm ngang và đi qua điểm đánh dấu đối tượng thống kê đó trên trục nằm ngang. Đầu mút trên của đoạn thẳng đó là điểm mốc của đối tượng thống kê

Bước 3. Vẽ đường gấp khúc gồm các đoạn thẳng nối liền liên tiếp các điểm mốc

Bước 4. Hoàn thiện biểu đồ: ghi tên các trục và ghi số liệu tương ứng trên mỗi điểm mốc (nếu cần).

4. Biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ hình quạt tròn

Để biểu diễn dữ liệu trên biểu đồ quạt tròn (theo tỉ số phần trăm), ta có thể làm như sau:

Bước 1. Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.

Bước 2. Chuyển đối số liệu của một đối tượng thống kê (tính theo tỉ số phần trăm) về số đo cung tương ứng với đối tượng thống kê đó (tính theo độ) dựa theo nguyên tắc sau: x% tương ứng với x%.360°

Các số đo cung tương ứng với các đối tượng thống kê được cho ở bảng sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

Chú ý: n₁ + n₂ + … + n_k = 360°.

Bước 3.⦁ Vẽ tia gốc OA theo phương thẳng đứng

⦁ Căn cứ vào bảng số đo cung ở trên, sử dụng thước thẳng và thước đo độ, vẽ theo chiều quay của kim đồng hồ các cung AA₁, A₁A₂, …, A_{k – 2}A_{k – 1}lần lượt có số đo là n₁, n₂, …, n_{k – 1}. Khi đó cung A_{k – 1}A có số đo là:

360° – (n₁ + n₂ + … + n_{k – 1}) = n_k.

Bước 4. Hoàn thiện biểu đồ: ghi tên đối tượng thống kê vào hình quạt tương ứng; ghi số liệu tương ứng trên mỗi hình quạt; các hình quạt được tô màu khác nhau (nếu cần) và xóa đi những thông tin không cần thiết trong biểu đồ.

Chú ý: Bán kính R của đường tròn (O; R) được vẽ ở Bước 1 nên chọn phù hợp với tính thẩm mĩ của biểu đồ.

Nhận xét:

– Biểu đồ hình quạt tròn cho phép nhận biết nhanh chóng mỗi đối tượng thống kê chiếm bao nhiêu phần trăm trong tổng thể thống kê.

– Bảng thống kê hoặc biểu đồ cột cho phép nhận biết nhanh chóng số liệu thống kê (theo tiêu chí) của mỗi đối tượng thống kê và so sánh các số liệu đó.

– Để vẽ biểu đồ hình quạt tròn từ bảng thống kê (hoặc từ biểu đồ cột), trước hết từ các số liệu ở bảng đó (hoặc ở biểu đồ cột đó) cần xác định các số đo cung tương ứng với các đối tượng thống kê.

5. Tần số. Bảng tần số. Biểu đồ tần số

5.1. Tần số và bảng tần số

– Một tập gồm hữu hạn các dữ liệu thống kê được gọi là một mẫu. Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu (hay cỡ mẫu).

– Số lần xuất hiện của một giá trị trong mẫu dữ liệu thống kê được gọi là tấn số của giá trị đó.

– Để lập bảng tần số ở dạng bảng ngang, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xác định các giá trị khác nhau của mẫu dữ liệu và tìm tần số của mỗi giá trị đó.

Bước 2. Lập bảng gồm 2 dòng và một số cột

Theo thứ tự từ trên xuống dưới, ta lần lượt ghi:

+ Cột đầu tiên: Tên các giá trị (x), Tần số (n);

+ Các cột tiếp theo lần lượt ghi giá trị và tần số của giá trị đó;

+ Cột cuối cùng: Cộng, N = …

5.2. Biểu đồ tần số

– Để trình bày mẫu dữ liệu một cách trực quan sinh động, dễ nhớ và gây ấn tượng, người ta sử dụng biểu đồ tần số.

– Người ta thường vẽ biểu đồ tần số ở dạng biểu đồ cột hoặc biểu đồ đoạn thẳng và có thể thực hiện các bước như sau:

Bước 1. Lập bảng tần số của mẫu số liệu thống kê đó

Bước 2. Vẽ biểu đồ cột hoặc biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn số liệu thống kê trong bảng tần số nhận được ở Bước 1.

6. Tần số tương đối. Bảng tần số tương đối. Biểu đồ tần số tương đối

6.1. Tần số tương đối và bảng tần số tương đối

– Tần số tương đối f_i của giá trị x_i là tỉ số giữa tần số n_i của giá trị đó và số lượng N các dữ liệu trong mẫu dữ liệu thống kê: $f_{i} = \frac{n_{i}}{N} .$

Ta thường viết tần số tương đối dưới dạng phần trăm.

– Để lập bảng tần số tương đối ở dạng bảng ngang, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xác định các giá trị khác nhau của mẫu dữ liệu và tìm tần số tương đối của mỗi giá trị đó.

Bước 2. Lập bảng gồm 2 dòng và một số cột

Theo thứ tự từ trên xuống dưới, ta lần lượt ghi:

+ Cột đầu tiên: Tên các giá trị (x), Tần số tương đối (%)

+ Các cột tiếp theo lần lượt ghi giá trị và tần số tương đối của giá trị đó

+ Cột cuối cùng: Cộng, 100.

Chú ý: Bảng tần số tương đối ở dạng bảng dọc được lập bằng cách tương tự như trên.

Nhận xét: Đối với một mẫu dữ liệu thống kê, tần số tương đối của một giá trị phản ánh giá trị đó chiếm bao nhiêu phần trăm trong tổng thể thống kê.

6.2. Biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột hoặc biểu đồ hình quạt tròn

– Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ cột của một mẫu dữ liệu thống kê, ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.

Bước 2. Vẽ biểu đồ cột biểu diễn số liệu thống kê trong bảng tần số tương đối nhận được ở Bước 1.

– Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ở dạng biểu đồ hình quạt tròn của một mẫu dữ liệu thống kê, ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê đó.

Bước 2. Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn số liệu thống kê trong bảng tần số tương đối nhận được ở Bước 1.

7. Mẫu số liệu ghép nhóm

– Khi mẫu số liệu có nhiều giá trị khác nhau nên nếu ta lập bảng tần số (hay bảng tần số tương đối) thì bảng sẽ rất dài, gây khó khăn trong việc phân tích, xử lí số liệu thu thập được. Để khắc phục trở ngại đó, ta có thể ghép các số liệu trên thành các nhóm.

– Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta có thể thực hiện như sau:

⦁ Tìm nửa khoảng [a; b) sao cho giá trị mỗi số liệu trong mẫu số liệu đều thuộc nửa khoảng [a; b);

⦁ Ta thường phân chia nửa khoảng [a; b) thành các nửa khoảng có độ dài bằng nhau.

Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, đầu mút của các nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu.

8. Tần số ghép nhóm. Bảng tần số ghép nhóm

– Trong một mẫu số liệu ghép nhóm, tần số ghép nhóm (hay tần số) của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2, …, nhóm m kí hiệu lần lượt là n₁, n₂, …, n_m.

– Để lập bảng tần số ghép nhóm ở dạng bảng ngang, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xác định các nhóm của mẫu dữ liệu ghép nhóm và tìm tần số của mỗi nhóm đó

Bước 2. Lập bảng gồm 2 dòng và một số cột

Theo thứ tự từ trên xuống dưới, ta lần lượt ghi:

⦁ Cột đầu tiên: Nhóm, Tần số (n)

⦁ Các cột tiếp theo lần lượt ghi tên nhóm và tần số của nhóm đó

⦁ Cột cuối cùng: Cộng, N = …

Chú ý: Bảng tần số ghép nhóm ở dạng bảng dọc được lập bằng cách tương tự như trên.

Nhận xét:

⦁ Đối với một mẫu dữ liệu thống kê ghép nhóm, tần số của một nhóm phản ánh số lượng số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm đó.

⦁ Cũng như mẫu số liệu không ghép nhóm, để trình bày mẫu số liệu ghép nhóm một cách trực quan, sinh động, dễ nhớ và gây ấn tượng, người ta sử dụng biểu đồ tần số ghép nhóm.

– Để vẽ biểu đồ tần số ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột của một mẫu số liệu ghép nhóm, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Bước 1.Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu được ghép nhóm đã cho

Bước 2. Vẽ biểu đồ cột biểu diễn số liệu thống kê trong bảng tần số ghép nhóm nhận được ở Bước 1 (các cột được ghép sát nhau).

9. Tần số tương đối ghép nhóm. Bảng tần số tương đối ghép nhóm. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm

9.1. Tần số tương đối ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm

– Tần số tương đối ghép nhóm (hay tần số tương đối) f_i của nhóm i là tỉ số giữa tần số n_i của nhóm đó và số lượng N các số liệu trong mẫu số liệu thống kê: $f_{i} = \frac{n_{i}}{N} .$

Ta thường viết tần số tương đối ghép nhóm dưới dạng phần trăm.

– Để lập bảng tần số tương đối ghép nhóm ở dạng bảng ngang, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xác định các nhóm của mẫu dữ liệu ghép nhóm và tìm tần số tương đối của mỗi nhóm đó

Bước 2. Lập bảng gồm 2 dòng và một số cột

Theo thứ tự từ trên xuống dưới, ta lần lượt ghi:

⦁ Cột đầu tiên: Nhóm, Tần số tương đối (%)

⦁ Các cột tiếp theo lần lượt ghi nhóm và tần số tương đối của nhóm đó

⦁ Cột cuối cùng: Cộng, 100.

Chú ý: Bảng tần số ghép nhóm ở dạng bảng dọc được lập bằng cách tương tự như trên.

9.2. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm

– Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột của một mẫu số liệu ghép nhóm, ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho

Bước 2. Vẽ biểu đồ cột biểu diễn số liệu thống kê trong bảng tần số tương đối ghép nhóm nhận được ở Bước 1.

– Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ đoạn thẳng của một mẫu số liệu ghép nhóm, ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1. Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho

Bước 2. Vẽ biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn các số liệu thống kê trong bảng tần số tương đối ghép nhóm nhận được ở Bước 1.

10. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

– Có những phép thử mà tập hợp Ω gồm các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó hoàn toàn xác định. Tuy nhiên, các kết quả xảy ra có tính ngẫu nhiên, ta không thể đoán trước được. Những phép thử như thế gọi là phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) và tập hợp W gọi là không gian mẫu của phép thử.

– Các kết quả có thể xảy ra của một phép thử có khả năng xuất hiện như nhau được gọi là đồng khả năng.

– Kết quả thuận lợi cho biến cố A là một kết quả có thể của phép thử làm cho biến cố A xảy ra

11. Xác suất của biến cố

– Giả thiết rằng các kết quả có thể xảy ra của một phép thử là đồng khả năng.

Khi đó, xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A), bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố A và tổng số kết quả có thể xảy ra:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

– Để tính xác suất cho biến cố A, ta có thể thực hiện các bước sau:

Bước 1. Kiểm tra tính đồng khả năng đối với các kết quả có thể xảy ra của phép thử

Bước 2. Đếm số kết quả có thể xảy ra, tức là đếm số phần tử của không gian mẫu W

Bước 3. Đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố A

Bước 4. Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố A và tổng số kết quả có thể xảy ra.

Bài tập ôn tập Chương 6

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Vào đợt nghỉ hè vừa rồi, mỗi ngày hai bạn Hiệp và Hà đều học thêm một số từ vựng Tiếng Anh mới. Số lượng từ vựng mới gồm 5, 6, 7 từ bạn Hiệp học lần lượt là 5, 8, 9 ngày. Số lượng từ vựng mới gồm 5, 6, 7 từ bạn Hà học lần lượt là 6, 6, 8 ngày. Lựa chọn biểu đồ thích hợp biểu diễn các số liệu đó.

A. Biểu đồ tranh.

B. Biểu đồ cột.

C. Biểu đồ cột kép.

D. Biểu đồ hình quạt tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ở đây có 2 dãy dữ liệu về thời gian học từ mới của bạn Hiệp và bạn Hà, ta nên dùng biểu đồ cột kép.

Bài 2.Muốn so sánh các phần trong toàn bộ dữ liệu ta nên dùng:

A. Biểu đồ tranh.

B. Biểu đồ cột.

C. Biểu đồ hình quạt tròn.

D. Biểu đồ đoạn thẳng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Muốn so sánh các phần trong toàn bộ dữ liệu ta nên dùng biểu đồ hình quạt tròn.

Bài 3. Trong biểu đồ đoạn thẳng, khẳng định nào sau đây không đúng?

A. Gốc của trục đứng không nhất thiết phải là 0.

B. Trục ngang biểu diễn đối tượng thống kê.

C. Giá trị của một đại lượng tại một thời điểm có thể biểu diễn bằng dấu chấm tròn, dấu chấm vuông, dấu nhân.

D. Thời gian trên trục ngang không nhất thiết phải sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thời gian trên trục ngang cần sắp xếp theo thứ tự tăng dần để biểu diễn rõ được sự thay đổi của đối tượng.

Bài 4. Trong bài thơ “Quê hương” của tác giả Đỗ Trung Quân có hai câu thơ:

“Quê hương nếu ai không nhớ

Sẽ không lớn nổi thành người”.

Mẫu dữ liệu thống kê các chữ cái Tiếng Việt xuất hiện trong hai câu thơ trên. Có bao nhiêu giá trị khác nhau?

A. 10;

B. 13;

C. 16;

D. 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Các chữ cái xuất hiện trong hai câu thơ là:

Q, U, Ê, H, Ư, Ơ, N, G, A, I, K, Ô, S, E, L, T.

Vậy có 16 chữ cái khác nhau nên có 16 giá trị khác nhau.

Bài 5. Kết quả điều tra cân nặng của một số học sinh lớp 9 được thể hiện dưới dạng bảng tần số như sau:

Dựa theo bảng tần số hãy cho biết số học sinh nặng hơn 49 kg là bao nhiêu em?

A. 8;

B. 10;

C. 11;

D. 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Quan sát bảng tần số số học sinh có cân nặng lớn hơn 49 kg là gồm 6 học sinh nặng 50 kg và 2 học sinh nặng 51 kg.

Vậy có 6 + 2 = 8 học sinh nặng hơn 49 kg.

Bài 6. Cho bảng số liệu sau:

Trong bảng số liệu trên, có một số liệu không chính xác. Số liệu đó là:

A. 16%;

B. 20%;

C. 28%;

D. 46%.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cộng các tần số ta được: N = 4 + 5 + 7 + 9 = 25.

Tần số tương đối tương ứng với các tần số là:

$f_{1} = \frac{4 \cdot 100}{25} % = 16 %; f_{2} = \frac{5 \cdot 100}{25} % = 20 %;$

$f_{3} = \frac{7 \cdot 100}{25} % = 28 %; f_{4} = \frac{9 \cdot 100}{25} % = 36 % .$

Vậy số liệu không chính xác là f₄ = 46%.

Bài 7. Khối lượng (đơn vị: gam) của 30 quả cà chua thu hoạch được từ khu vườn của gia đình nhà An là:

$\begin{matrix} 90 & 73 & 88 & 93 & 101 & 104 & 111 & 95 & 78 & 95 \\ 81 & 97 & 96 & 95 & 83 & 90 & 101 & 103 & 92 & 117 \\ 96 & 86 & 97 & 82 & 90 & 75 & 87 & 112 & 110 & 109 \end{matrix}$

Ghép các số liệu trên thành năm nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau, ta được các nhóm đó là:

A. [70; 80), [80; 90), [90; 100), [100; 110), [110; 120).

B. [75; 80), [80; 85), [85; 90), [90; 95), [95; 100).

C. [60; 75,5), [75,5; 90), [90; 100), [100; 110), [110; 120).

D. [70; 81), [81; 90), [91; 100), [91; 110), [111; 120).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong mẫu số liệu đó, số liệu có giá trị nhỏ nhất là 73, số liệu có giá trị lớn nhất là 117.

Vì thế, ta có thể chọn nửa khoảng [70; 120) sao cho giá trị của mỗi số liệu trong mẫu số liệu đều thuộc nửa khoảng [70; 120).

Vì độ dài của nửa khoảng [70; 120) bằng 120 – 70 = 50 nên ta có thể phân chia nửa khoảng đó thành năm nửa khoảng có độ dài bằng nhau là:

[70; 80), [80; 90), [90; 100), [100; 110), [110; 120).

Vậy ta có thể ghép nhóm mẫu số liệu đã cho theo năm nhóm ứng với năm nửa khoảng đó.

Bài 8. Bác Hoa đã thực hiện ghi lại thời gian tập thể dục của con trai mình mỗi ngày (đơn vị: giờ) trong vòng 30 ngày như sau:

$\begin{matrix} 1, 2 & 3, 7 & 3, 9 & 3, 2 & 2, 3 & 2, 1 & 2, 4 & 3, 5 & 3, 4 & 2, 7 \\ 4, 9 & 2, 7 & 0, 5 & 1, 5 & 0, 4 & 2, 0 & 0, 6 & 1, 8 & 4, 8 & 1, 5 \\ 2, 9 & 2, 4 & 4, 6 & 3, 5 & 4, 2 & 1, 7 & 3, 9 & 2, 4 & 3, 4 & 1, 6 \end{matrix}$

Ghép mẫu số liệu trên thành các nhóm ứng với các nửa khoảng có độ dài bằng nhau thì nhóm [1; 2) có tần số là

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta thấy các giá trị thuộc nhóm [1; 2) là: 1,2; 1,5; 1,8; 1,5; 1,7; 1,6.

Vậy tần số của nhóm [1; 2) là 6.

Bài 9. Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu sản phẩm mới. Người điều tra yêu cầu mỗi người được phỏng vấn cho điểm mẫu sản phẩm đó theo thang điểm là 100. Kết quả thống kê là như sau:

$\begin{matrix} 50 & 60 & 62 & 64 & 71 & 73 & 70 & 70 & 70 & 75 \\ 75 & 52 & 55 & 69 & 80 & 75 & 75 & 78 & 79 & 73 \\ 55 & 72 & 71 & 85 & 82 & 90 & 78 & 78 & 75 & 75 \\ 65 & 85 & 87 & 77 & 81 & 79 & 99 & 75 & 70 & 72 \end{matrix}$

Khi vẽ biểu đồ bảng tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng, điểm M(85; 6) ứng với nhóm số liệu nào:

A. [60; 70).

B. (70; 80);

C. [80; 90);

D. [90; 100).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là: $x_{1} = \frac{50 + 60}{2} = 55;$ $x_{2} = \frac{60 + 70}{2} = 65;$ $x_{3} = \frac{70 + 80}{2} = 75;$ $x_{4} = \frac{80 + 90}{2} = 85;$ $x_{5} = \frac{90 + 100}{2} = 95.$

Tần số ghép nhóm của nhóm [80; 90) là 6 nên khi vẽ biểu đồ bảng tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng, điểm M(85; 6) ứng với nhóm [80; 90).

Bài 10. Xét phép thử “Gieo một đồng xu hai lần liên tiếp và quan sát mặt xuất hiện trên đồng xu”. Không gian mẫu của phép thử là

A. $Ω$ = {S; SN; N; SS}.

B. $Ω$ = {NS; SN; NN; SS}.

C. $Ω$ = {NN; SS}.

D. $Ω$ = {NS; NN; SS}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử đó là $Ω$ = {NS; SN; NN; SS}.

Bài 11. Cho tập hợp A = {0; 1; 5; 6}.Mai dùng 2 chữ số khác nhau từ tập hợp A để tạo thành số có hai chữ số. Số kết quả thuận lợi của biến cố: “Số tạo thành chia hết cho 5” là

A. 2;

B. 3;

C. 5;

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có 5 kết quả thuận lợi của biến cố: “Số tạo thành chia hết cho 5” là: {10; 50; 60; 15; 65}.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 12. Gieo một con xúc xắc đồng chất và cân đối một lần. Xác suất của biến cố A: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố” là

A. $\frac{1}{2} .$

B. $\frac{1}{3} .$

C. $\frac{2}{3} .$

D. $\frac{1}{6} .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tập hợp $Ω$ gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của con xúc xắc là:

$Ω$ = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Do đó tập hợp W có 6 phần tử.

Trường hợp xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố là: 2 chấm; 3 chấm; 5 chấm.

Dó đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố”.

Vậy xác suất của biến cố A là $P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$

II. Bài tập tự luận

Bài 1. Đội bóng bàn tại một trường học ghi lại số trận thắng của mỗi thành viên trong một giải đấu nội bộ như sau:

Vẽ biểu đồ cột và biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn những dữ liệu thống kê trên.

Hướng dẫn giải

Biểu đồ cột biểu diễn dữ liệu thống kê đã cho như sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

Biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn dữ liệu thống kê đã cho như sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

Bài 2. Bảng thống kê điểm thi học kì II với bốn môn Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Khoa học tự nhiên của hai bạn Nam và Hải như sau:

a) Hãy vẽ biểu đồ cột kép biểu diễn các số liệu đó.

b) Phát biểu “Trung bình cộng điểm thi bốn môn Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Khoa học tự nhiên của Nam cao hơn của Hải” là đúng hay sai? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) Biểu đồ cột kép biểu diễn các số liệu đó như sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

b) Trung bình cộng điểm thi của Nam là: $\frac{8 + 6 + 5 + 7, 5}{4} = 6, 625$ (điểm).

Trung bình cộng điểm thi của Hải là: $\frac{7 + 8 + 9 + 4}{4} = 7$ (điểm).

Ta thấy rằng 6,625 < 7 nên trung bình cộng điểm thi của Nam thấp hơn trung bình cộng điểm thi của Hải.

Vậy phát biểu đã cho chưa chính xác.

Bài 3. Cho bảng thống kê về số lượng bán được của một số loại quần áo trong 1 ngày của một nhân viên cửa hàng quần áo nữ như sau:

Vẽ biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn dữ liệu thống kê trên.

Hướng dẫn giải:

Số lượng quần áo nhân viên bán được trong ngày hôm đó là:

5 + 8 + 4 + 3 = 20 (chiếc).

Chuyển đổi số liệu thống kê ở bảng thống kê đã cho về số liệu thống kê tính theo tỉ số phần trăm, ta có bảng sau:

Từ các số liệu thống kê tính theo tỉ số phần trăm ở trên, ta có các số đo cung tương ứng với các đối tượng thống kê ở bảng sau:

Căn cứ vào bảng trên, ta có biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn số liệu đã cho như sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

Bài 4.Biểu đồ tranh sau đây biểu diễn số lượng học sinh lớp 9A bình chọn môn học yêu thích nhất:

Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ tần số tương đối cho dữ liệu được biểu diễn trong biểu đồ tranh trên (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Tổng số học sinh tham gia bình chọn là:

(7 + 4 + 6) . 2 = 34 (học sinh).

Số học sinh yêu thích môn Toán, Ngữ văn, Tiếng Anh lần lượt là 14, 8, 12.

Ta có bảng tần số của mẫu dữ liệu thống kê như sau:

Do đó các tần số tương đối lần lượt là:

$f_{1} = \frac{14 \cdot 100}{34} % \approx 41 %;$ $f_{2} = \frac{8 \cdot 100}{34} % \approx 24 %; f_{3} = \frac{12 \cdot 100}{34} % \approx 35 % .$

Ta có bảng tần số tương đối sau:

b) Biểu đồ tần số tương đối dạng biểu đồ cột của mẫu số thiệu thống kê:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

Bài 5. Bạn Kha thống kê lại số sách mà mỗi bạn trong lớp đã đọc sau “tuần lễ đọc sách” và ghi lại trong bảng dưới đây:

a) Lập bảng tần số tương đối của mẫu số liệu trên.

b) Vẽ biểu đồ tần số tương đối dạng hình quạt tròn biểu diễn số liệu trên.

Hướng dẫn giải

a) Bảng thống kê đó có 50 số liệu (N = 50) và có 5 giá trị khác nhau là:

x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = 2; x₄ = 3; x₅ = 4.

Các giá trị x₁ = 0; x₂ = 1; x₃ = 2; x₄ = 3; x₅ = 4 lần lượt có tần số, tần số tương đối là:

n₁ = 5; n₂ = 8; n₃ = 16; n₄ = 9; n₅ = 12.

$f_{1} = \frac{5 \cdot 100}{50} % = 10 %; f_{2} = \frac{8 \cdot 100}{50} % = 16 %; f_{3} = \frac{16 \cdot 100}{50} % = 32 %;$

$f_{4} = \frac{9 \cdot 100}{50} % = 18 %; f_{5} = \frac{12 \cdot 100}{50} % = 24 % .$

Bảng tần số tương đối của mẫu số liệu thống kê:

b) Biểu đồ tần số tương đối dạng biểu đồ hình quạt tròn của mẫu số thiệu thống kê:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

Bài 6. Cho biểu đồ biểu diễn kết quả khảo sát thành tích chạy của 100 m của một số học sinh như sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

a) Có bao nhiêu học sinh chạy hết 100 m ít hơn 15 giây?

b) Có tổng số bao nhiêu học sinh tham gia khảo sát?

Hướng dẫn giải

a) Dựa vào biểu đồ trên, ta thấy số học sinh chạy hết 100 m ít hơn 15 giây chính là tổng số học sinh của hai nhóm [13; 14), [14, 15).

Số học sinh chạy hết 100 m ít hơn 15 giây là: 3 + 6 = 9 (học sinh).

b) Tổng số học sinh tham gia khảo sát là: 3 + 6 + 4 + 2 = 16 (học sinh).

Bài 7. Thầy Hải đang thực hiện thống kê về số điểm trung bình môn Toán thi vào lớp 10 của học sinh khối 9 tại một trường trung học cơ sở. Do sơ suất nên thầy Hải đã ghi thiếu một số số liệu. Em hãy giúp thầy hoàn thành bảng thống kê sau:

Hướng dẫn giải

Trong mẫu số liệu đó, số liệu có giá trị nhỏ nhất là 4, số liệu có giá trị lớn nhất là 10. Vì độ dài của nửa khoảng [4; 10) bằng 10 – 4 = 6 mà có 3 nhóm nên ta có thể ghép nhóm mẫu số liệu đã cho theo ba nhóm ứng với ba nửa khoảng bằng 2 đó là:

[4; 6), [6; 8), [8; 10).

Ta có công thức tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [4; 6) là:

$f_{1} = \frac{n_{1} \cdot 100}{N} %,$ suy ra $10 % = \frac{20 \cdot 100}{N} %,$ do đó N = 200.

Khi đó, ta có tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [6; 8) là:

100% – 10% – 25% = 65%.

Tần số ghép nhóm của nhóm [6; 8) là:

$f_{2} = \frac{n_{2} \cdot 100}{200} % = 65 %,$ suy ra n₂ = 130.

Tần số ghép nhóm của nhóm [8; 10) là: 200 – 20 – 130 = 50.

Ta có bảng tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm như sau:

Bài 8. Khối lượng (đơn vị: gam) của một số quả cà chua thu hoạch được từ khu vườn của gia đình An như sau:

a) Lập bảng tần số ghép nhóm và bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

b) Vẽ biểu đồ tần số ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu ghép nhóm câu a.

c) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ đoạn thẳng của mẫu số liệu ghép nhóm câu a.

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy rằng tổng số quả là N = 8 + 6 + 9 + 12 + 5 = 40.

Tần số tương đối ghép nhóm của của các nhóm [70; 80), [80; 90), [90; 100), [100; 110), [110; 120) lần lượt là: $f_{1} = \frac{8 \cdot 100}{40} % = 20 %, f_{2} = \frac{6 \cdot 100}{40} % = 15 %, f_{3} = \frac{9 \cdot 100}{40} % = 22, 5 %, f_{4} = \frac{12 \cdot 100}{40} % = 30 %, f_{5} = \frac{5 \cdot 100}{40} % = 12, 5 % .$

Ta có bảng sau:

b) Biểu đồ tần số ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột của mẫu số liệu đã cho như sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

c) Biểu đồ tần số ghép nhóm ở dạng biểu đoạn thẳng của mẫu số liệu đã cho như sau:

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 6 Cánh diều

Bài 9.Xét phép thử: “Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất”. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) A:“Tổng số chấm trên hai mặt bằng 11”;

b) B:“Kết quả sau hai lần gieo là như nhau”;

c) C: “Tích số chấm trên hai mặt lớn hơn 12”.

Hướng dẫn giải

Kết quả của phép thử là cặp số (a, b), trong đó a và b tương ứng là số chấm lần lượt xuất hiện trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai.

Không gian mẫu của phép thử là:

Ω={(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4);(3, 5);(3, 6);(4, 1); (4, 2); (4, 3); (4, 4); (4, 5); (4, 6); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 1); (6, 2); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6)}.

Số phần tử không gian mẫu: 36.

a) Các kết quả có tổng số chấm trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng 11 là (5, 6) và (6, 5).

Do đó biến cố A có 2 kết quả thuận lợi.

Vậy $P (A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} .$

b) Các kết quả có số chấm trên hai mặt của hai con xúc xắc bằng nhau là: (1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6).

Do đó biến cố B có 6 kết quả thuận lợi.

Suy ra $P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} .$

c) Các kết quả có tích số chấm trên hai mặt của hai con xúc xắc lớn hơn 10 là: (3, 5); (3, 6); (4, 4); (4, 5); (4, 6); (5, 3); (5, 4); (5, 5); (5, 6); (6, 3); (6, 4); (6, 5); (6, 6).

Do đó biến cố C có 6 kết quả thuận lợi.

Suy ra $P (C) = \frac{13}{36} .$

Bài 10. Có năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 2 cm, 4 cm, 6 cm, 8 cm và 10 cm. Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng trên. Tính xác suất của biến cố A: “Ba đoạn thẳng được lấy ra lập thành ba cạnh của một tam giác”.

Hướng dẫn giải:

Xét phép thử “Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng trong năm đoạn thẳng”.

Ta thấy, các kết quả xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Kết quả xảy ra của phép thử là một bộ ba (a cm, b cm, c cm), trong đó a cm, b cm và c cm tương ứng là độ dài của ba đoạn thẳng được lấy ra. Do ba đoạn thẳng được lấy ra cùng một lúc nên a, b và c đôi một khác nhau.

Tập hợp các kết quả của phép thử là:

Ω = {(2 cm, 4 cm, 6 cm);(2 cm, 4 cm, 8 cm);(2 cm, 4 cm, 10 cm);(2 cm, 6 cm, 8 cm);(2 cm, 6 cm, 10 cm); (2 cm, 8 cm, 10 cm); (4 cm, 6 cm, 8 cm); (4 cm, 6 cm, 10 cm); (4 cm, 8 cm, 10 cm); (6 cm, 8 cm, 10 cm)}.

Tập hợp Ω có 10 phần tử.

Ta có: 8 < 4 + 6; 10 < 4 + 8; 10 < 6 + 8 nên ba bộ ba các đoạn thẳng lập thành ba cạnh của một tam giác là: (4 cm, 6 cm, 8 cm);(4 cm, 8 cm, 10 cm); (6 cm, 8 cm, 10 cm).

Do đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P (A) = \frac{3}{10} .$

Học tốt Toán 9 Chương 6

Các bài học để học tốt Bài tập cuối chương 6 Toán lớp 9 hay khác:

Giải sgk Toán 9 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Cánh diều khác